11 Przykładów Rozkładu Macierzy Na Postać Jordana [wideo]

[wersja pdf]

logo pliku pdf

[wersja online]
Zapewne przed przeczytaniem całego tego artykułu zadajesz sobie pytanie czy znajdziesz tu poszukiwane informacje. Dlatego poniżej w punktach jest dokładnie napisane co będzie.

Temat jest dosyć trudny, także żeby nie było, że nie mówiłem, chociaż wyjaśnię go najlepiej jak potrafię. Na niektórych kierunkach matematycznych tego nie ma.
Ta teoria jest względnie „świeża” ma zaledwie ponad 100 lat.
Jordan 1838 – 1922

Co będzie?

  • Przypomnienie najważniejszych faktów
    • Macierz jako przekształcenie liniowe wektora
    • Wektory i wartości własne?
    • Wielomian i równanie charakterystyczne i widmo macierzy
    • Diagonalizacja macierzy
    • Czy zawsze macierz jest diagonalizowalna?
  • z pojęć nowych
    • Co ma rozkład Jordana macierzy do diagonalizacji macierzy?
    • Jak wygląda ogólny wzór rozkładu macierzy na postać Jordana?
    • Po co dokonywać rozkładu i co on daje?
    • Czym różni się zbiór wektorów własnych od przestrzeni własnej?
  • W temacie samej macierzy Jordana
    • Budowa macierz \M{J}
    • Co to jest klatka Jordana?
    • 1,2, czy 3 rodzaje klatek Jordana, czym się różnią?, Jak wyglądają?
    • Czy rozkład Jordana jest jednoznaczny?
    • Co można pozamieniać, a czego niewolno?
    • Co łączy klatki Jordana z wartościami własnymi?
    • Czy w rozkładzie może być kilka klatek dla jednej wartości własnej i od czego to zależy?
    • Skąd wiadomo ile będzie klatek Jordana dla danej wartości własnej?
    • Czym się różni zbiór wektorów własnych o przestrzeni własnej?
    • Czym się różni krotność algebraiczna od krotności geometrycznej, wymiaru przestrzeni własnej i z czego wywodzą się te nazwy?
  • Macierz \M{J} to nie wszystko
    • Jak budować macierz przejścia?
    • Po co są potrzebne wektory dołączone?
    • Wektory dołączone, skąd ta nazwa i czy są wektorami własnymi?
    • Jak wyznaczać wektory dołączone?
    • Czy wektory w macierzy przejścia są niezależne liniowo?
    • Co robić gdy wartość własna nie jest rzeczywista?
    • Trzeci rodzaj klatek Jordana
    • Czym się różni rozkład macierzy o elementach zespolonych na postać Jordana?
    • Potęgowanie klatek Jordana?
    • Funkcja macierzowa

Zgodnie z obietnicą będą to przykłady z teorią, więc najpierw pokażę Ci jak się to robi, a na koniec podsumujemy teorią.
Dla ustalenia uwagi będę mówił tylko o macierz z elementami rzeczywistymi. Ponadto dla zespolonych postępujemy bardzo analogicznie.
W końcowej części pojawią się nawiązania do jądra odwzorowania liniowego.
Mimo obszernego planu i szczerych chęci, obawiam się, iż temat i tak niezostanie wyczerpany.

Co nie jest konieczne

  • Przekształcenia liniowego
  • Definicji formalnej przestrzeni liniowej
  • Bazy i macierzy przejścia (zmiany bazy)
  • Jądra i obrazu przekształcenia liniowego

Chociaż łatwiej będzie ze znajomością.

Dla kogo jest ten materiał

  • Gotowych do skupienia
  • Chcących zrozumieć i nauczyć się tak często omijanego tematu jakim jest rozkład Jordana macierzy.
  • Ciekawych świata
  • Zajmujący się teorią sterowania
  • Dla inżynierów, zajmujących się inżynierią u „podstaw”
  • Które nie chcą być niewolnikiem programu komputerowego, który wszystko oblicza.

Dla kogo nie jest ten materiał
Nie jest dla osób:

  • nie potrafiących pomnożyć macierzy
  • nie potrafiących obliczyć wyznacznik dowolnego stopnia
  • nie potrafiących odwrócić macierzy
  • nie potrafiących rozwiązać szkolnego równania wielomianowego
  • nie rozumiejących przestrzeni, chociaż na poziomie szkolnym
  • nie znających pojęcia kombinacji liniowej wektorów*
  • nie jest dla osób preferujących język i styl akademicki
  • nastawionych negatywnie i agresywnie, negujących wszystko i wszystkich

Dlaczego Piszę?

  • Zdaje sobie sprawę, że temat jest bardzo niszowy i marketingowo strzelam sobie trochę w stopę.
  • Mimo to czuje moralny obowiązek podzielenia się tymi informacji, bo też trudno znaleźć je i zebrać do kupy, gdyż są porozrzucane po internecie.
  • A niektóre materiały są trudne do zrozumienia przez początkujących

Po co robimy rozkład Jordana

  • Aby łatwo i szybko obliczać potęgi wysokiego stopnia z dowolnej macierzy. \M{A}^{200}%Potęgi są natomiast kluczem do innych funkcji. Wzór Taylora.
  • Aby obliczać e^{\M{A}} do macierzy% a to spotyka się w równaniach różniczkowych
  • Aby obliczać pierwiastek macierzowy% a to przydaje się w teorii sterowania
  • Aby obliczać dowolną funkcję od macierzy, która jest rozwijalna w szereg Taylora.
  • Zastosowanie przy rozwiązywaniu układu równań różniczkowych
  • Zastosowanie w zaawansowanej teorii sterowania.
  • W mechanice kwantowej

Macierz Jako przekształcenie liniowe

  • Wektor \M{v} przekształcamy zgodnie z przekształceniem liniowym \varphi na wektor \M{w}
  •     \[\varphi(\M{v}) = \M{w}\]

  • To przekształcenie możemy zastąpić macierzą i vice versa, tzn. dowolną macierz, możemy interpretować jako przekształcenie liniowe wektora, na inny wektor.
  • W rachunku macierzowym wykorzystam mnożenie macierzy
  •     \[\M{A}\cdot \M{v} = \M{w}\]

Wektor własny

  • Pytamy czy jest taki wektor, że po przekształceniu będzie to ten sam wektor lub ewentualnie o zmienionej długości lub zwrocie.
  • Wektor taki nazywamy wektorem własnym dla danego przekształcenia liniowego (macierzy).
  • Bo są to wektory odporne na to przekształcenie, stąd nazwa wektory własne, bo zdeterminowane przez to dane przekształcenie.
  •     \[\M{A}\M{v} = \lambda \M{v}\]

  • Przy czym wykluczamy tu wektor zerowy \M{v}\neq 0

Wartość własna

  • Tę liczbę skalującą oznaczamy przez \lambda i nazywamy wartością własną. Liczba ta już może być 0.
  • To zagadnienie szukania wartości i wektorów własnych nazywa się zagadnieniem własnym.

Zagadnienie własne

  • Przekształcając można zapisać \left( \M{A} - \lambda \M{I} \right) \M{v} = \M{0}
  • To co jest istotne, to że dany wektor własny jest przypisany danej wartości własnej
  • A takich par wartość własna wektor własny jest wiele dla danego przekształcenia liniowego
  •     \[\left( \M{A} - \lambda \M{I} \right) \M{v} = \M{0} \qquad \Rightarrow \qquad \det \left( \M{A} - \lambda \M{I} \right)=0\]

  • Chcąc znaleźć wartości i wektory własne najpierw znajdujemy wartości własne.
  •     \[\det \left( \M{A} - \lambda \M{I} \right)=0 \qquad \Rightarrow \qquad w(\lambda)=0\]

Diagonalizacja

  • Diagonalizacja polega na tym, że daną macierz \M{A} chcemy zapisać w postaci \M{W} \M{\Lambda }\M{W}^{-1}, tzn.
  •     \[\M{A} = \M{W} \M{\Lambda} \M{W}^{-1},\]

    Gdzie \M{\Lambda} jest macierzą diagonalną.

  • Nie każda macierz daje się tak zapisać, czyli nie każda macierz jest diagonalizowalna.
  • Jeżeli wszystkie wartości własne, są jednokrotne, to taka macierz jest diagonalizowalna. {\tiny {\G{Uwaga na zespolone wartości własne}}}
  • Okazuje się, że wektory i wartości własne są bardzo pomocne przy znalezieniu \M{W} \M{\Lambda} \M{W}^{-1}
  • Wystarczy zbudować macierz \M{\Lambda} układając na przekątnej wartości własne.
  • Macierz \M{W} budujemy wstawiając, odpowiadające wektory własne, w tej samej kolejności, co wartości własnym w macierz \M{\Lambda}
  •     \[\M{\Lambda} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0         & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots         & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0         & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{bmatrix} \qquad \M{W} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} \\ \M{v}_1 \\ {} \end{matrix}  & \begin{matrix} \\ \M{v}_2 \\ {} \end{matrix} & \begin{matrix} \\ \cdots \\ {} \end{matrix} & \begin{matrix} \\ \M{v}_n \\ {} \end{matrix} \end{bmatrix}\]

Digonalizowalność

  • Jednak jeśli wartości własne nie są jednokrotne to bywa różnie. Czasami macierz jest diagonalizowalna a czasami nie.
  • Dokładne omówienie kiedy to jest możliwe, a kiedy nie będziemy dalej dyskutować w tym nagraniu.
  • Okazuje się jednak, że każdą macierz można zapisać w postaci Jordana, czyli w zasadzie jest to uogólnienie diagonalizacji.

Rozkład Jordana

  • Na pierwszy rzut oka wygląda bardzo podobnie
  •     \[\M{A} = \M{W} \M{J} \M{W}^{-1},\]

        \[\M{J} = \begin{bmatrix} \M{K}_1 & \M{0} & \cdots & \M{0} \\ \M{0}         & \M{K}_2 & \cdots & \M{0} \\ \vdots         & \vdots & \ddots & \vdots \\ \M{0}         & \M{0} & \cdots & \M{K}_{\R{q}} \\ \end{bmatrix} \qquad  \M{K}_{\R{i}} = \begin{bmatrix} \lambda_{\R{i}} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{\R{i}} & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0               & \lambda_{\R{i}} & \cdots & 0 \\ \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{\R{i}} \\ \end{bmatrix},\]

    gdzie i\in\{1,2, \ldots q \} \quad q\leq n,

  • Jednak teraz Macierz \M{J} nie jest diagonalna.
  • Macierz \M{K}_i są nazywane klatkami i są różnych stopni.
  • Macierz \M{J} przypomina macierz diagonalną jednak nią nie jest.
  • W istocie składa się z macierzy blokowych o różnych rozmiarach.
  • Na przekątnej znajdują się tak zwane klatki, a pozą nią są tylko 0.
  • Te klatki zawsze są macierzami kwadratowymi.
  • Klatki są dwojakie w zasadzie trojakie, ale po kolei.
  • Klatka może być po prostu macierzą 1\times 1, czyli pojedynczą liczbą.
  •     \[\M{K}_i = [\lambda_i]\]

Diagonalizacja a Rozkład Jordana

  • Dla danej wartości własnej też może być wiele klatek.
  • Jeżeli macierz \M{J} składa się tylko z pojedynczych klatek to wówczas rozkład Jordana daje nam rozkład diagonalny.
  • To jednak bardzo szczególny przypadek, jeśli mamy chociaż jedną wartość własną wielokrotną to niekoniecznie tak musi być.
  • Oczywiście pojawia się pytanie jaką klatkę należy wybrać czy jest jeden sposób takiego wyboru itp.

Przykład 1 – wielomian

    \[\M{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -4 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\]

\begin{itemize}
Wyznaczamy wielomian charakterystyczny

    \[\det \left( \M{A}-\lambda \M{I}  \right) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ -4 & 4-\lambda & 0 \\ -2 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}= -\lambda(4-\lambda)(2-\lambda) + 4(2-\lambda) =\]

    \[= (2-\lambda)(-4\lambda+\lambda^2+4)=\]

    \[= (2 - \lambda)(\lambda -2 )^2=-(\lambda-2)^3\]

Przykład 1 – wartości własne

  • wielomian charakterystyczny
  •     \[\det \left( \M{A}-\lambda \M{I}  \right) = -(\lambda-2)^3\]

  • Wartości własne
  •     \[\det \left( \M{A}-\lambda \M{I}  \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad  \lambda=2\]

  • Krotność algebraiczna wynosi 3

Przykład 1 – Wektory własne

  • Zagadnienie własne to (\M{A} - \lambda \M{I})\M{v} = \M{0}
  • {\G{Jest to inaczej szukanie jądra, ale przekształcenia}} \M{A} - 2\M{I}
  •     \[\vspace{-0.5cm} \M{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -4 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \qquad \qquad  \begin{bmatrix} 0-2 & 1 & 0 \\ -4 & 4-2 & 0 \\ -2 & 1 & 2-2 \end{bmatrix}  \cdot   \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

    \begin{itemize}

  • Cały układ sprowadza się do jednego równania -2x+y =0
  • Wektor własny ogólnie możemy zapisać tak \begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha \\ \beta \end{bmatrix}, \alpha^2+\beta^2>0

Zbiór wektorów własnych i przestrzeń własna

  • Zbiór wektorów własnych dla \lambda = 2 to
  •     \[\left\{ \begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha \\ \beta \end{bmatrix} : \alpha^2+\beta^2>0 \wedge \alpha,\beta \in \RR  \right\}\]

  • Przestrzeń własna dla \lambda = 2 to
  •     \[\left\{ \begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha \\ \beta \end{bmatrix} : \alpha,\beta \in \RR  \right\}\]

  • Przestrzeń własna różni się tym od zbioru wektorów własnych, że ma dodatkowo wektor zerowy, musi go mieć, bo inaczej nie była by to przestrzeń.

Jakie klatki oraz jaka ich liczba?

  • Przestrzeń własna jest przestrzenią dwu wymiarową, tzn.
  •     \[\dim \left(\left\{ \begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha \\ \beta \end{bmatrix} : \alpha,\beta \in \RR  \right\} \right) = 2\]

  • Zatem będą dwie klatki Jordana
  • Skoro krotność algebraiczna wynosi 3 tzn. że musimy mieć jedną klatkę stopnia 1 i jedną klatkę stopnia 2, tzn.
  •     \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2  \end{bmatrix} \mbox{ oraz } \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}\]

  • Bo suma ich stopni musi być równa 3.

Za mało wektorów własnych

  • Na daną chwilę dysponujemy dwoma niezależnymi liniowo wektorami własnymi
  •     \[\left\{ \begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha \\ \beta \end{bmatrix} : \alpha^2+\beta^2>0 \wedge \alpha,\beta \in \RR  \right\}\]

  • na przykład
  •     \[\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \mbox{ oraz } \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

  • Natomiast my potrzebujemy 3 wektorów by zbudować macierz \M{W}

Jak z 2 wektorów zbudować macierz \M{W}?

  • Jak zbudować macierz \M{W}
  •     \[\M{W} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & ? \\ 2 & 0 & ? \\ 0 & 1 & ? \\ \end{bmatrix}\]

  • Potrzebujemy jej do

        \[\M{W}\cdot \M{J}\cdot \M{W}^{-1}\]

  •     \[\M{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & ? \\ 2 & 0 & ? \\ 0 & 1 & ? \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} 1 & 0 & ? \\ 2 & 0 & ? \\ 0 & 1 & ? \\ \end{bmatrix}^{-1}\]

Wektor dołączony

  • Skoro wiemy, że mamy klatkę stopnia 2, to będziemy dla niej potrzebowali dwa wektory.
  • Chodzi o dwa wektory, które trzeba wstawić do macierz przejścia \M{W}.
  • Potrzeba zatem zrobić z jednego wektora własnego jeden dodatkowy wektory.
  • Ten wektor nie będzie już wektorem własnym, ale nadawać się będzie do macierzy \M{W}.
  • Ten „lewy” wektor nazywa się wektorem dołączonym lub wektorem głównym.

Wektor dołączony

  • Pamiętajmy, że macierz \M{W} będzie odwracana, więc macierz \M{W} musi mieć wyznacznik niezerowy
  •     \[\det( \M{W} )\neq 0\]

  • To się sprowadza do pytania czy taki wektor będzie niezależny liniowo z pozostałymi wektorami własnymi?
  • Okazuje się, że na szczęście będzie niezależny liniowo i to zawsze.

Wektor dołączony

  • Aby go znaleźć postępujemy bardzo podobnie.
  •     \[\begin{bmatrix} 0-2 & 1 & 0 \\ -4 & 4-2 & 0 \\ -2 & 1 & 2-2 \end{bmatrix}  \cdot   \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\R{0}} \\ {\R{0}} \\ {\R{1}} \end{bmatrix}\]

  • tym razem zamiast wektora zerowego wstawiamy wektor własny, z którego chcemy wyprodukować ten nowy „lewy” wektor
  •     \[\begin{cases} y =2x \\ -2x+y=1 \end{cases} \Rightarrow \mbox{ układ {\R{sprzeczny}}}\]

  • Czyżby coś było nie tak?

Wektor dołączony

  • Spróbujmy z drugiego wektora własnego.
  •     \[\begin{bmatrix} 0-2 & 1 & 0 \\ -4 & 4-2 & 0 \\ -2 & 1 & 2-2 \end{bmatrix}  \cdot   \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\R{1}} \\ {\R{2}} \\ {\R{0}} \end{bmatrix}\]

  • Teraz mamy układ
  •     \[\begin{cases} -2x+y =1 \\ -4x+2y=2 \\ -2x+y=0 \end{cases} \Rightarrow \mbox{ układ {\R{sprzeczny}}}\]

  • Znów mamy problem?

Wektor dołączony

  • Spróbujmy na dowolnym wektorze własnym z tej przestrzeni własnej.
  •     \[\begin{bmatrix} 0-2 & 1 & 0 \\ -4 & 4-2 & 0 \\ -2 & 1 & 2-2 \end{bmatrix}  \cdot   \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\R{\alpha}} \\ {\R{2\alpha}} \\ {\R{\beta}} \end{bmatrix}\]

  • Teraz mamy układ
  •     \[\begin{cases} -2x+y =\alpha \\ -4x+2y=2\alpha \\ -2x+y=\beta \end{cases} \Rightarrow \alpha = \beta\]

  • \alpha = \beta tylko wtedy istniej wektor dołączony

wektor dołączony

  • Układ sprowadził się do
  •     \[y=\alpha +2x \quad \mbox{ oraz } \alpha = \beta\]

  • Wektor dołączony można w ogólności zapisać tak
  •     \[\begin{bmatrix} \gamma \\ \alpha + 2\gamma \\ \epsilon  \end{bmatrix}\]

  • Mamy następujący Łańcuch Jordana
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha  \\ \beta  \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \gamma \\ \alpha+2\gamma \\ \epsilon  \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \beta =\alpha  \end{matrix} \end{tiny}}\]

Łańcuch Jordana i podstawianie

    \[\begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha  \\ \beta  \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \gamma \\ \alpha+2\gamma \\ \epsilon  \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \beta =\alpha  \end{matrix} \end{tiny}}\]

  • Aby utworzyć parę wektorów dla klatki stopnia 2
  •     \[\alpha = 1 = \beta, \quad \gamma = 0 \quad \epsilon = 0\]

  • Dostaniemy konkretny wektor własny i wektor dołączony do niego
  •     \[\begin{bmatrix} 1 \\ 2  \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1  \\ 0 \end{bmatrix} \quad \mbox{ powstaje "bloczek" } \quad \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1  \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Jaki wektor dla klatki stopnia 1 wybrać?

  • Dla drugiej klatki, stopnia pierwszego, wystarczy wziąć jakikolwiek wektor własny.
  • Oczywiście z tej przestrzeni własnej no i taki, który będzie niezależny liniowo do tego użytego już wektora własnego, czyli do tego \begin{bmatrix} 1 \\ 2  \\ 1 \end{bmatrix}
  • np.
  • \begin{bmatrix} 0 \\ 0  \\ 1 \end{bmatrix} \leftarrow \begin{bmatrix} \alpha \\ 2\alpha \\ \beta \end{bmatrix}

  • Teraz możemy zapisać rozkład Jordana macierz

Rozkład Jordana

    \[\M{A} = \M{W}\cdot \M{J} \cdot \M{W}^{-1} \qquad {\G{\Leftrightarrow \qquad  \M{J} = \M{W}^{-1} \cdot \M{A} \cdot \M{W}}}\]

  • W wyniku naszej pracy wytworzyliśmy rozkład Jordana
  •     \[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ -4 & 4 & 0  \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\ZLO{0}} & {\W{1}} & {\W{0}}\\ {\ZLO{0}} & {\W{2}} & {\W{1}}  \\ {\ZLO{1}} & {\W{1}} & {\W{0}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\ZLO{2}}    & 0        & 0\\ 0            & {\W{2}}  & {\W{1}}  \\ 0            & {\W{0}}  & {\W{2}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\ZLO{0}} & {\W{1}} & {\W{0}}\\ {\ZLO{0}} & {\W{2}} & {\W{1}}  \\ {\ZLO{1}} & {\W{1}} & {\W{0}} \end{bmatrix}^{-1}\]

Przykład 2 wielomian charakterystyczny

    \[\hspace{ -0.5cm}\M{A} =  \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8 \end{bmatrix}  \qquad  \qquad \det(\M{A}-\lambda\M{I}) = \begin{vmatrix}  1-\lambda & -3         & 3  \\ -2        & -6-\lambda & 13 \\ -1        & -4         & 8 -\lambda  \end{vmatrix}=\]

    \[=-(1-\lambda)(6+\lambda)(8-\lambda)+39+24-3(6+\lambda)+52(1-\lambda)-6(8-\lambda)=\]

    \[= -(1-\lambda)(6+\lambda)(8-\lambda) + 63 -18-3\lambda+52-52\lambda-48+6\lambda=\]

    \[= -(1-\lambda)(6+\lambda)(8-\lambda) +49(1-\lambda)= (1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda+1)\]

Przykład 2 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I})=0 \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=1 krotność 3
  • dla \lambda =1
  •     \[\hspace{ -1.5cm}\M{A} =  \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8 \end{bmatrix}  \qquad  \qquad (\M{A}-{\R{1}}\cdot\M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ -2 & -7 &13 \\ -1 & -4 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} -3y+3z=0 \Rightarrow z= y \\ -2x-7y+13z = 0  \\ -x -4y+7z =0 \end{cases} \Rightarrow x=3y\]

Przykład 2 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{bmatrix} 3\alpha \\ \alpha  \\ \alpha \end{bmatrix}\]

  • Wymiar tej przestrzeni własnej jest 1, więc będzie jedna klatka Jordan
  • Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 2 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ -2 & -7 &13 \\ -1 & -4 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\alpha \\ \alpha  \\ \alpha \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -3y+3z= 3\alpha \Rightarrow z= y + \alpha \\ -2x-7y+13z = \alpha \ \Rightarrow  \ -2x+6y+13\alpha = \alpha \\ -x -4y+7z = \alpha \ \Rightarrow  \ -x+3y+7\alpha = \alpha \end{cases}\]

  • Wychodzi zatem x=3y+6\alpha oraz z=y+\alpha
  •     \[\begin{bmatrix} 3\beta + 6\alpha \\ \beta  \\ \beta + \alpha \end{bmatrix}\]

Przykład 2 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ -2 & -7 &13 \\ -1 & -4 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\beta + 6\alpha \\ \beta  \\ \beta + \alpha \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -3y+3z= 3\beta + 6\alpha \Rightarrow z= y + \beta + 2\alpha \\ -2x-7y+13z = \beta \ \Rightarrow  \ x= 3y+6\beta+13\alpha \\ -x -4y+7z = \beta+\alpha \ \Rightarrow  \ x= 3y+6\beta+13\alpha \\ \end{cases}\]

  • Wektor dołączony jest postaci
  •     \[\begin{bmatrix} 3\gamma + 6\beta + 3\alpha \\ \gamma \\ \gamma + \beta + 2\alpha \end{bmatrix}\]

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia

  • Łańcuch Jordana wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} 3\alpha \\ \alpha  \\ \alpha \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 3\beta + 6\alpha \\ \beta  \\ \beta + \alpha \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 3\gamma + 6\beta + 3\alpha \\ \gamma \\ \gamma + \beta + 2\alpha \end{bmatrix}\]

  • Wybieram np. \alpha = {\W{1}} \neq 0, \beta = {\W{0}}, \gamma ={\W{0}} rozkład wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} {\W{3}} & {\W{6}} & {\W{3}} \\  {\W{1}} & {\W{0}} & {\W{0}}   \\   {\W{1}} & {\W{1}} & {\W{2}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1   \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} {\W{3}} & {\W{6}} & {\W{3}}\\ {\W{1}} & {\W{0}} & {\W{0}} \\  {\W{1}} & {\W{1}} & {\W{2}} \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Można też inaczej wybrać

  • Łańcuch Jordana wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} 3\alpha \\ \alpha  \\ \alpha \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 3\beta + 6\alpha \\ \beta  \\ \beta + \alpha \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 3\gamma + 6\beta + 3\alpha \\ \gamma \\ \gamma + \beta + 2\alpha \end{bmatrix}\]

  • Równie dobrze \alpha = 1, \beta = -1, \gamma =1 rozkład wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1   \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1   \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1   \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Co by się stało?

  • A gdyby policzyć następny wektor dołączony
  •     \[\begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ -2 & -7 &13 \\ -1 & -4 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\gamma + 6\beta + 3\alpha \\ \gamma \\ \gamma + \beta + 2\alpha \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} -3y+3z= 3\gamma + 6\beta+13\alpha \Rightarrow z= y + \gamma + 2\beta + \frac{13}{3}\alpha \\ -2x-7y+13z = \gamma \ \Rightarrow  \ x= 3y+6\gamma+13\beta+\frac{13^2}{3}\alpha \\ -x -4y+7z = \gamma+\beta+2\alpha \ \Rightarrow  \ x= 3y+6\gamma+13\beta+\frac{13\cdot 7-6}{3}\alpha \\ \end{cases}\]

  • Sprzeczność

Przykład 3

    \[\M{A} =  \begin{bmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{bmatrix}  \qquad  \det(\M{A}-\lambda\M{I}) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -5  & 2 \\ 5 & -7-\lambda & 3 \\ 6 & -9 & 4-\lambda \end{vmatrix} =\]

    \[= -(4-\lambda)^2(7+\lambda) - 90 -90 +12(7+\lambda)+27(4-\lambda) +25(4-\lambda)=\]

    \[=-(4-\lambda)(28-3\lambda-\lambda^2-52)-180+70 +14+12\lambda =\]

    \[=\lambda^2(-\lambda+1)\]

  • Przejdźmy do równania charakterystycznego

Przykład 3 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) = 0 \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=1 krotność algebraiczna 1
  • dla \lambda =1
  •     \[\M{A}=\begin{bmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{bmatrix}  \qquad  (\M{A}-{\R{1}}\cdot\M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} 3 & -5 & 2 \\ 5 & -8 & 3 \\ 6 & -9 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} 3y-5z+2z=0 \Rightarrow z= \frac{5y-3x}{2}  \\ 5x-8y+3z = 0 \Rightarrow 5x-8y+\frac{15y-9x}{2}=0 \Rightarrow x-y=0 \\ 6x -9y+3z =0 \Rightarrow 6x-9y+\frac{15y-9x}{2}=0 \Rightarrow 3x-3y=0 \end{cases}\]

        \[z=y=x\]

Przykład 3 – Wektor własny

  • wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ \alpha  \\ \alpha \end{bmatrix} \qquad \alpha \neq 0\]

  • Wymiar tej przestrzeni jest 1, więc będzie jedna klatka Jordan
  • Tak jest zawsze dla krotności algebraicznej równej 1

Przykład 3 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=0 krotność 2
  • dla \lambda =0
  •     \[\M{A}=\begin{bmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{bmatrix}  \qquad(\M{A}-{\R{0}}\cdot\M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} 4x-5y+2z=0 \Rightarrow 2z= 5y-4x \Rightarrow z=\frac{5y-4x}{2}  \\ 5x-7y+3z = 0 \Rightarrow 5x-7y+\frac{15y-12x}{2}=0 \Rightarrow -2x-y=0 \\ 6x -9y+4z =0 \Rightarrow 6x-9y+10y-8x =0 \Rightarrow y-2x=0 \end{cases}\]

        \[\begin{matrix} y=2x \\ z =3x \end{matrix}\]

Przykład 3 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{bmatrix} \beta \\ 2\beta  \\ 3\beta  \end{bmatrix}\]

  • Wymiar tej przestrzeni jest 1, więc będzie jedna klatka Jordan
  • Krotność algebraicznych \lambda = 0 wynosi 2, więc będzie klatka stopnia 2
  • Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 3 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta \\ 2\beta  \\ 3\beta \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} 4x-5y+2z= \beta \Rightarrow 2z= \beta -4x+5y \\ 5x-7y+3z = 2\beta  \ \Rightarrow  \ 5x-7y+\frac{3\beta-12x+15y}{2} -2\beta = 0 \\ 6x -9y+4z = 3\beta  \ \Rightarrow  \ 6x-9y+2\beta-8x+10y-3\beta = 0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} -2x+y-\beta=0\Rightarrow y=\beta+2x \\ z =3\beta+3x   \end{cases} \qquad \begin{bmatrix} \gamma \\ \beta+2\gamma  \\ 3\beta + 3\gamma \end{bmatrix}\]

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia

  • Łańcuch Jordana wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} \beta \\ 2\beta \\ 3\beta \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \gamma  \\ \beta + 2\gamma  \\ 3\beta+3\gamma \end{bmatrix}\]

  • Wybieramy \beta = 1, \gamma = 0, rozkład wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1   \\ 1 & 3 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1   \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1   \\ 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \M{A} =  \begin{bmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3   \\ 6 & -9 & 4 \end{bmatrix}\]

Przykład 4 wielomian charakterystyczny

    \[\M{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad  \det(\M{A}-\lambda\M{I}) = \begin{vmatrix}  1-\lambda & 1         & 0         & -1  \\ -1        & 3-\lambda & 0         & -1  \\ 0         & 0         & 2-\lambda & 0   \\ 0         & 0         & 0         & 2-\lambda \end{vmatrix}=\]

    \[=\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1  \\ -1  & 3-\lambda \end{vmatrix} \cdot (2-\lambda)^2 =\]

    \[=((1-\lambda)(3-\lambda)+1)(2-\lambda)^2=\]

    \[=(3-4\lambda +\lambda^2+1)(2-\lambda)^2=(\lambda-2)^4\]

Przykład 4 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=2 krotność algebraiczna 4
  • dla \lambda =2
  •     \[\hspace{-1.1cm} \begin{tiny} \M{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \end{tiny}  \qquad (\M{A}-{\R{2}}\cdot\M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0  & 0 & 0 &  0 \\ 0  & 0 & 0 &  0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[-x+y-w=0 \Rightarrow w= -x+ y\]

Przykład 4 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta  \\ \gamma \\ -\alpha+\beta \end{bmatrix}\]

  • Więc będą 3 klatki Jordan
  • Skoro suma stopni wynosi 4, to będą 3 klatki stopnia 1 i jedna klatka stopnia 2
  • Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 4 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0  & 0 & 0 &  0 \\ 0  & 0 & 0 &  0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta  \\ \gamma \\ -\alpha+\beta \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -x+y-w = \alpha  \\ -x+y-w = \beta \\ \gamma = 0 \end{cases} \Rightarrow \alpha=\beta\]

  • Wychodzi zatem w= -x+y-\alpha
  •     \[\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{bmatrix} \delta \\ \omega  \\ \eta \\ -\delta + \omega - \alpha \end{bmatrix}\]

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia

  • Łańcuch Jordana wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ -\alpha + \beta \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \delta \\ \omega \\ \eta  \\ -\delta + \omega - \alpha \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \beta =\alpha \\ \gamma = 0  \end{matrix} \end{tiny}}\]

  • Wybieramy \alpha = 1, \beta = 1 rozkład wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} 1  & 0 & {\ZLO{1}} & {\ZLO{0}} \\ 0  & 0 & {\ZLO{1}} & {\ZLO{0}} \\ 0  & 1 & {\ZLO{0}} & {\ZLO{0}} \\ -1 & 0 & {\ZLO{0}} & {\ZLO{-1}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 2 & 0 & 0 \\   0 & 0 & {\ZLO{2}} & {\ZLO{1}} \\    0 & 0 & {\ZLO{0}} & {\ZLO{2}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1  & 0 & {\ZLO{1}} & {\ZLO{0}} \\ 0  & 0 & {\ZLO{1}} & {\ZLO{0}} \\ 0  & 1 & {\ZLO{0}} & {\ZLO{0}} \\ -1 & 0 & {\ZLO{0}} & {\ZLO{-1}} \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Przykład 5 wielomian charakterystyczny

    \[\M{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 9 & -6 \\ -1 & 3 & 11 & -7 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]

    \[\det(\M{A}-\lambda\M{I}) = \begin{vmatrix}  1-\lambda & 1         & 9         & -6  \\ -1        & 3-\lambda & 11        & -7  \\ 0         & 0         & 2-\lambda & 0   \\ 0         & 0         & 0         & 2-\lambda \end{vmatrix}=\]

    \[= (2-\lambda)^2 (3-4\lambda + \lambda^2+1)=(2-\lambda)^2(\lambda-2)^2=(2-\lambda)^4\]

Przykład 5 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=2 krotność 4
  • dla \lambda =2
  •     \[\hspace{-1.5cm}\begin{tiny} \M{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 9 & -6 \\ -1 & 3 & 11 & -7 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \end{tiny} \qquad  (\M{A}-{\R{2}}\cdot \M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} -1 & 1 &  9 & -6 \\ -1 & 1 & 11 & -7 \\ 0  & 0 &  0 &  0 \\ 0  & 0 &  0 &  0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} -x + y+9z-6w = 0 \Rightarrow y = x-9z+6w \\ -x+y-11z-7w = 0  \Rightarrow y = x -11z +7w \end{cases}\]

        \[-11z+7w = -9z +6w \Rightarrow w = 2z\]

        \[y = x+3z\]

Przykład 5 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ \alpha+3\beta  \\ \beta \\ 2\beta \end{bmatrix}\]

  • Więc będą 2 klatki Jordan
  • Skoro suma stopni wynosi 4 to:
    • 2 klatki stopnia 2
    • po jednej klatce stopnia 1 i 3
  • Okaże się w trakcie
  • Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 5 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} -1 & 1 &  9 & -6 \\ -1 & 1 & 11 & -7 \\ 0  & 0 &  0 &  0 \\ 0  & 0 &  0 &  0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \alpha \\ \alpha+3\beta  \\ \beta \\ 2\beta \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -x+y+9z-6w = \alpha \Rightarrow y = x-9z+6w+\alpha \\ -x+y+11z-7w = \alpha + 3\beta  \Rightarrow y=x-11z+7w+\alpha+3\beta \\ 0 = \beta  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  2z=w+3\cdot 0 \end{cases}\]

\begin{cases}  w= 2z \\  y = x+3z+\alpha \end{cases} Wówczas \begin{bmatrix} \gamma \\ \gamma + 3\delta+\alpha  \\ \delta \\ 2\delta  \end{bmatrix}

Przykład 5 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} -1 & 1 & 9 &  -6 \\ -1 & 1 & 11 & -7 \\ 0  & 0 & 0 &  0 \\ 0  & 0 & 0 &  0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \gamma \\ \gamma + 3\delta+\alpha  \\ \delta \\ 2\delta  \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -x+y+9z-6w = \gamma \quad \Rightarrow \quad y = x-9z+6w+\gamma \\ -x+y+11z-7w = \gamma +  3\delta +\alpha \quad \Rightarrow \quad  y=x-11z+7w+\gamma+\alpha \\ 0 = \delta  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -9z +6w=-11z+7w+\alpha \end{cases}\]

    \[\begin{cases} w=2z-\alpha \\ y = x+3z-6\alpha+\gamma \end{cases}\]

Przykład 5 – Wektor dołączony

    \[\begin{cases} w=2z-\alpha \\ y = x+3z-6\alpha+\gamma \end{cases}  \quad  \Rightarrow \quad   \begin{bmatrix} \omega \\ \omega+3\varphi -6\alpha + \gamma  \\ \varphi \\ 2\varphi-\alpha  \end{bmatrix}\]

  • Nie szukam dalej, bo już widać, że będzie klatka stopnia przynajmniej 3.
  • Skoro tak to wnioskujemy, iż będzie po jednej klatce stopnia 3 i 1

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia

  • Łańcuch Jordana wygląda tak:
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ \alpha+3\beta  \\ \beta \\ 2\beta \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \gamma \\ \gamma + 3\delta+\alpha  \\ \delta \\ 2\delta  \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \beta =0  \end{matrix} \end{tiny}} \to  \begin{bmatrix} \omega \\ \omega+3\varphi -6\alpha + \gamma  \\ \varphi \\ 2\varphi-\alpha  \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \beta =0 \\  \delta = 0 \end{matrix} \end{tiny}}\]

  • Dla {\W{\alpha = 1}} klatki stopnia {\W{3}}, dla {\ZLO{\beta =1}} klatka stopnia {\ZLO{1}}
  • Rozkład wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} {\ZLO{0}} & {\W{1}} & {\W{0}} &  {\W{0}} \\ {\ZLO{3}} & {\W{1}} & {\W{1}} & {\W{-6}} \\ {\ZLO{1}} & {\W{0}} & {\W{0}} & {\W{0}} \\ {\ZLO{2}} & {\W{0}} & {\W{0}} & {\W{-1}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\ZLO{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\W{2}} & {\W{1}} & {\W{0}} \\ 0 & {\W{0}} & {\W{2}} & {\W{1}} \\ 0 & {\W{0}} & {\W{0}} & {\W{2}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\ZLO{0}} & {\W{1}} & {\W{0}} &  {\W{0}} \\ {\ZLO{3}} & {\W{1}} & {\W{1}} & {\W{-6}} \\ {\ZLO{1}} & {\W{0}} & {\W{0}} & {\W{0}} \\ {\ZLO{2}} & {\W{0}} & {\W{0}} & {\W{-1}} \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Przykład 6 wielomian charakterystyczny

    \[\M{A} = \begin{bmatrix} 3  & 1 & -4  & -7  \\ -1 & 1 &  5  &  9  \\ 0  & 0 &  4  &  4   \\ 0  & 0 & -1  &  0 \end{bmatrix}\]

    \[\det(\M{A}-\lambda\M{I}) = \begin{vmatrix}  3-\lambda & 1         & -4        & -7  \\ -1        & 1-\lambda &  5        &  9  \\ 0         & 0         & 4-\lambda &  4   \\ 0         & 0         & -1        & -\lambda \end{vmatrix}=\]

    \[= (3-4\lambda+\lambda^2+1)\cdot(-4\lambda + \lambda^2+4)^2= (2-\lambda)^2(\lambda-2)^2=(2-\lambda)^4\]

Przykład 6 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=2 krotność 4
  • dla \lambda =2
  •     \[\hspace{-1.7cm}\begin{tiny} \M{A} = \begin{bmatrix}  3 & 1  & -4  & -7  \\ -1 & 1 & 5   &  9  \\  0 & 0  &  4  &  4  \\  0 & 0  &  -1 & 0 \end{bmatrix} \end{tiny} \quad  (\M{A}-2\cdot \M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} 1  &  1 & -4 & -7 \\ -1 & -1 &  5 &  9 \\ 0  &  0 &  2 &  4 \\ 0  &  0 & -1 &  -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} x + y-4z-7w = 0 \\ -x-y+5z+9w = 0  \\ z = -2w \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y+w =0 \\ -x-y-w =0  \end{cases}\]

        \[y = -w -x\]

        \[z = -2w\]

Przykład 6 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ -\alpha-\beta  \\ -2\beta \\ \beta \end{bmatrix}\]

  • Więc będą 2 klatki Jordan
  • Skoro suma stopni wynosi 4 to:
    • 2 klatki stopnia 2
    • po jednej klatce stopnia 1 i 3
  • Okaże się w trakcie
  • Teraz przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 6 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix}  1  &  1  & -4 & -7 \\ -1  & -1  &  5 &  9 \\  0  &  0  &  2 &  4 \\  0  &  0  & -1 & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \alpha \\ -\alpha-\beta  \\ -2\beta \\ \beta \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} x+y-4z-7w = \alpha  \\ -x+y+5z+9w = -\beta-\alpha   \\ 2z+4w = -2\beta  \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} x+ y +w +4\beta = \alpha \\ -x - y-w-5\beta= -\beta -\alpha \\ z = -\beta -2w \end{cases}\]

\begin{cases}  y= -w -x + \alpha - 4\beta \\  z = -\beta -2 w \end{cases} Wówczas \begin{bmatrix} \gamma \\ -\delta-\gamma+\alpha-4\beta \\ -\beta-2\delta \\ \delta  \end{bmatrix}

Przykład 6 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix}  1  &  1  & -4 & -7 \\ -1  & -1  &  5 &  9 \\  0  &  0  &  2 &  4 \\  0  &  0  & -1 & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \gamma \\ -\delta-\gamma+\alpha-4\beta \\ -\beta-2\delta \\ \delta  \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} x+y-4z-7w = \gamma  \\ -x-y+5z+9w = -\delta-\gamma+\alpha-4\beta  \\ 2z+4w = -\beta-2\delta \\ -z-2w=\delta \end{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\]

    \[\qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \begin{cases} x+y+w+4\delta = \gamma \\ -x-y-w-5\delta = -\delta -\gamma +\alpha \\ \beta = 0 \end{cases}\]

Przykład 6 – Wektor dołączony

    \[\hspace{-0.5cm}\begin{cases} x+y+w+4\delta = \gamma \\ -x-y-w-5\delta = -\delta -\gamma +\alpha \\ \beta = 0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=-w-4\delta+\gamma -x  \\ \alpha = 0 \\ \beta = 0 \end{cases}  \quad  \Rightarrow \quad   \begin{bmatrix} \varphi \\ -\eta - 4\delta + \gamma -\varphi  \\ -2\eta - \delta \\ \eta   \end{bmatrix}\]

Przykład 6 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} \varphi \\ -\eta - 4\delta + \gamma -\varphi  \\ -2\eta - \delta \\ \eta   \end{bmatrix}\]

  • Widać, że ten już nie zależy od parametrów wektora własnego, tzn. \alpha i \beta.
  • Widać zatem, że klatki stopnia 3 nie ma
  • Skoro tak to wnioskujemy, iż będzie po jednej klatce stopnia 3 i 1

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia

  • Łańcuch Jordana wygląda tak:
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ -\alpha-\beta  \\ -2\beta \\ \beta \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \gamma \\ -\delta-\gamma+\alpha-4\beta \\ -\beta-2\delta \\ \delta  \end{bmatrix} {\G{\to \begin{bmatrix} \varphi \\ -\eta - 4\delta + \gamma -\varphi  \\ -2\eta - \delta \\ \eta   \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \beta = 0 \\  \alpha = 0 \end{matrix} \end{tiny}}}}\]

  • Dla {\ZLO{\alpha = 1}} klatki stopnia {\ZLO{2}}, dla {\W{\beta =1}} klatka stopnia {\W{2}}
  • Rozkład wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} {\ZLO{1}} & {\ZLO{0}} & {\W{0}} &  {\W{0}} \\ {\ZLO{-1}} & {\ZLO{1}} & {\W{-1}} & {\W{-4}} \\ {\ZLO{0}} & {\ZLO{0}} & {\W{-2}} & {\W{-1}} \\ {\ZLO{0}} & {\ZLO{0}} & {\W{1}} & {\W{0}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\ZLO{2}} & {\ZLO{1}} & 0 & 0 \\ {\ZLO{0 }}& {\ZLO{2}} & 0 & 0 \\ 0         & 0         & {\W{2}} & {\W{1}} \\ 0         & 0         & {\W{0}} & {\W{2}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\ZLO{1}} & {\ZLO{0}} & {\W{0}} &  {\W{0}} \\ {\ZLO{-1}} & {\ZLO{1}} & {\W{-1}} & {\W{-4}} \\ {\ZLO{0}} & {\ZLO{0}} & {\W{-2}} & {\W{-1}} \\ {\ZLO{0}} & {\ZLO{0}} & {\W{1}} & {\W{0}} \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Przykład 7 wielomian charakterystyczny

    \[\M{A} = \begin{bmatrix} 1  & 1 &  3  & -2  \\ -1 & 3 &  4  & -2  \\ 0  & 0 &  1  &  1   \\ 0  & 0 & -1  &  3 \end{bmatrix}\]

    \[\det(\M{A}-\lambda\M{I}) =  \begin{vmatrix}  1-\lambda & 1         &  3        & -2  \\ -1        & 3-\lambda &  4        & -2  \\ 0         & 0         & 1-\lambda &  1   \\ 0         & 0         & -1        & 3-\lambda \end{vmatrix}=\]

    \[= (3-4\lambda+\lambda^2+1)^2=(2-\lambda)^4\]

Przykład 7 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=2 krotność 4
  • dla \lambda =2
  •     \[\hspace{-1.5cm}\begin{bmatrix} 1  & 1 &  3  & -2  \\ -1 & 3 &  4  & -2  \\ 0  & 0 &  1  &  1   \\ 0  & 0 & -1  &  3 \end{bmatrix} \qquad  (\M{A}-2\cdot \M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} -1 & 1  &  3  & -2  \\ -1 & 1  &  4  & -2  \\  0 & 0  &  -1 &  1  \\  0 & 0  &  -1 &  1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} -x + y+3z-2w = 0 \Rightarrow -x+y+z  =0 \\ -x-y+4z-2w = 0   \Rightarrow -x+y+2z =0 \\ -z+w = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}  y = x \\  z = 0 \\   z = w \end{cases}\]

Przykład 7 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{cases}  y = x \\  z = 0 \\   z = w \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad  \begin{bmatrix} \alpha \\ \alpha  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

  • Więc będzie 1 klatka Jordan
  • Będzie to klatka stopnia 4
  • Przejdźmy do wyliczamy wektorów dołączonych

Przykład 7 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} -1 & 1  &  3  & -2  \\ -1 & 1  &  4  & -2  \\  0 & 0  &  -1 &  1  \\  0 & 0  &  -1 &  1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \alpha \\ \alpha  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -x + y+3z-2w = \alpha   \\ -x+y+4z-2w   = \alpha \\ -z+w = 0  \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}  x=y-\alpha \\  z =0 \\  z= w  \end{cases}\]

Wówczas \begin{bmatrix} \beta-\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix}

Przykład 7 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} -1 & 1  &  3  & -2  \\ -1 & 1  &  4  & -2  \\  0 & 0  &  -1 &  1  \\  0 & 0  &  -1 &  1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \beta-\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix}\]

    \[\hspace{ -0.5cm}\begin{cases} -x + y+3z-2w = \beta - \alpha \Rightarrow x=y-\alpha  \\ -x+y+4z-2w   = \beta \Rightarrow z =0 \\ -z+w = 0 \Rightarrow z= w \end{cases}   \Rightarrow \begin{cases} -x+ y +\alpha = \beta - \alpha \\  z = \alpha \\ z=w  \end{cases}\]

Przykład 7 – Wektor dołączony

    \[\hspace{-0.5cm}\begin{cases} -x+ y +\alpha = \beta - \alpha \\  z = \alpha \\ z=w  \end{cases} \Rightarrow   \begin{cases} y = x +  \beta -2 \alpha  \\ z=w = \alpha \end{cases}\]

    \[\begin{bmatrix} \gamma \\ \gamma + \beta -2\alpha \\ \alpha \\ \alpha \end{bmatrix}\]

Przykład 7 – Wektor dołączony kolejny

    \[\begin{bmatrix} -1 & 1  &  3  & -2  \\ -1 & 1  &  4  & -2  \\  0 & 0  &  -1 &  1  \\  0 & 0  &  -1 &  1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \gamma \\ \gamma + \beta -2\alpha \\ \alpha \\ \alpha \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -x + y+3z-2w = \gamma   \\ -x+y+4z-2w   = \gamma +\beta-2\alpha \\ w = \alpha + z \end{cases}\]

    \[\begin{cases} -x+y+z-2\alpha = \gamma  \\ -x+y+2z-2\alpha=\gamma +\beta-2\alpha \\ w = \alpha + z \end{cases}\]

Przykład 7 – Wektor dołączony

    \[\vspace{-0.1cm}  \begin{cases} -x+y+z-2\alpha = \gamma  \\ -x+y+2z-2\alpha=\gamma +\beta-2\alpha \\ w = \alpha + z \end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases}  x = y+z-2\alpha - \gamma \\  x =y+2z-\beta -\gamma \\ w = \alpha + z \end{cases} \Rightarrow\]

    \[\Rightarrow   \begin{cases} x = y+z-2\alpha - \gamma \\ z-2\alpha = 2z-\beta   \\ w = \alpha + z \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}  x = y+z-2\alpha - \gamma \\ z=\beta -2\alpha  \\ w =\alpha + z \end{cases} \Rightarrow\]

    \[\Rightarrow \begin{cases} x =y+ \beta - 4\alpha -\gamma \\ z = \beta -2\alpha  \\ w = \beta - \alpha \end{cases}  \quad  \Rightarrow \quad   \begin{bmatrix} \delta + \beta - 4\alpha-\gamma \\ \delta \\ \beta -2\alpha \\ \beta-\alpha \end{bmatrix}\]

Przykład 7 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} \delta + \beta - 4\alpha-\gamma \\ \delta \\ \beta -2\alpha \\ \beta-\alpha \end{bmatrix}\]

  • Widać, że taki wektor w dalszym ciągu zależy od parametrów wektora własnego, tzn. \alpha i \beta.

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia

  • Łańcuch Jordana wygląda tak:
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ \alpha \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \beta-\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \gamma \\ \gamma + \beta -2\alpha \\ \alpha \\ \alpha \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \delta + \beta - 4\alpha-\gamma \\ \delta \\ \beta -2\alpha \\ \beta-\alpha \end{bmatrix}\]

  • Dla \alpha = 1 klatka stopnia 4, Rozkład wygląda tak
  •     \[\begin{bmatrix} 1 & -1 &  0 & -4 \\ 1 &  0 & -2 &  0 \\ 0 &  0 &  1 & -2 \\ 0 &  0 &  1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 &  0 & -4 \\ 1 &  0 & -2 &  0 \\ 0 &  0 &  1 & -2 \\ 0 &  0 &  1 & -1 \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Sposób 2 (szybszy)

  • Kolejne potęgi macierzy \M{B} = \M{A} - 2\M{I}
  •     \[\M{B} = \begin{bmatrix} -1 & 1  &  3  & -2  \\ -1 & 1  &  4  & -2  \\  0 & 0  &  -1 &  1  \\  0 & 0  &  -1 &  1 \end{bmatrix} \qquad \qquad \M{B}^2 = \begin{bmatrix}  0 & 0  &   0  & 1  \\  0 & 0  &  -1  & 2  \\  0 & 0  &   0 &  0  \\  0 & 0  &   0 &  0 \end{bmatrix}\]

        \[\M{B}^3 = \begin{bmatrix}  0 & 0  &  -1  &  1  \\  0 & 0  &  -1  &  1  \\  0 & 0  &   0  &  0  \\  0 & 0  &   0  &  0 \end{bmatrix} \qquad \qquad \M{B}^4 = \begin{bmatrix}  0 & 0  &   0  &  0  \\  0 & 0  &   0  &  0  \\  0 & 0  &   0  &  0  \\  0 & 0  &   0  &  0 \end{bmatrix}\]

  • Teraz wybieramy dowolny wektor, taki aby \M{B}^4\M{u}^{4}=\M{0}, oraz \M{B}^{\R{3}}\M{u}^{4}{\R{\neq}} \M{0}

Poprzednie wektory dołączone

  • Ten wektor to np.
  •     \[\M{u}^{4} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

  • Wówczas obliczamy kolejne coraz niższego rzędu wektory dołączone, tzn.
  • \M{u}^{3}= \M{B} \cdot \M{u}^4
  • \M{u}^{2}= \M{B}^2 \cdot \M{u}^4
  • \M{u}^{1}= \M{B}^3 \cdot \M{u}^4

    \[\M{u}^{3}= \M{B} \cdot \M{u}^4 =\begin{bmatrix} -1 & 1  &  3  & -2  \\ -1 & 1  &  4  & -2  \\  0 & 0  &  -1 &  1  \\  0 & 0  &  -1 &  1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

    \[\M{u}^{2}= \M{B}^2 \cdot \M{u}^4 = \begin{bmatrix}  0 & 0  &   0  & 1  \\  0 & 0  &  -1  & 2  \\  0 & 0  &   0 &  0  \\  0 & 0  &   0 &  0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

    \[\M{u}^{1}= \M{B}^3 \cdot \M{u}^4 = \begin{bmatrix}  0 & 0  &  -1  & 1  \\  0 & 0  &  -1  & 1  \\  0 & 0  &   0 &  0  \\  0 & 0  &   0 &  0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Skąd wiadomo w takim razie jakie będą klatki Jordana

  • d_1 = 4 - \rank \M{B} = 4- 3
  • d_2 = 4 - \rank \left( \M{B}^2 \right) = 4- 2
  • d_3 = 4 - \rank \left( \M{B}^3 \right) = 4- 1
  • d_4 = 4 - \rank \left( \M{B}^4 \right) = 4- 0
  • Jak nam wyszło zero to następne wiadomo, że będzie 4
  • Klatek będzie d_1 = 1
  • Klatek stopnia większego od 1 będzie d_2-d_1 =1
  • Klatek stopnia większego od 2 będzie d_3-d_2 =1
  • Klatek stopnia większego od 3 będzie d_4-d_3 =1
  • Klatek stopnia większego od 4 będzie d_5-d_4 =0

Rozkład Jordana

  • U kładamy wektory w odpowiedniej kolejności
  •     \[\begin{bmatrix} 1 &  1 & -2 &  0 \\ 1 &  2 & -2 &  0 \\ 0 &  0 &  1 &  0 \\ 0 &  0 &  1 &  1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 &  1 & -2 &  0 \\ 1 &  2 & -2 &  0 \\ 0 &  0 &  1 &  0 \\ 0 &  0 &  1 &  1 \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

  • Czy ten wybór wpasowuję we wcześniej wyznaczony model pierwszą metodą? Łańcuch Jordana wygląda tak:
  •     \[\begin{bmatrix} \alpha \\ \alpha \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \beta-\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \gamma \\ \gamma + \beta -2\alpha \\ \alpha \\ \alpha \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \delta + \beta - 4\alpha-\gamma \\ \delta \\ \beta -2\alpha \\ \beta-\alpha \end{bmatrix}\]

Przykład 8 wielomian charakterystyczny

    \[\M{A} =  \begin{bmatrix} 0  & -6 & -7  & -9  \\ 1 & 5 &  3  & 4  \\ 0  & 0 &  4  &  2   \\ 0  & 0 & -1  &  1 \end{bmatrix}\]

    \[\det(\M{A}-\lambda\M{I}) =  \begin{vmatrix}  -\lambda & -6         &  -7       & -9  \\ 1         & 5-\lambda &  3        &  4  \\ 0         & 0         & 4-\lambda &  2   \\ 0         & 0         & -1        & 1-\lambda \end{vmatrix}=\]

    \[= (-5\lambda+\lambda^2+6)(4- 5\lambda +\lambda^2+2)=(\lambda-2)^2(\lambda-3)^2\]

Przykład 8 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=2 krotność 2 i \lambda = 3 krotność 2
  • dla \lambda =2
  •     \[\hspace{-1.52cm}\begin{bmatrix} 0  & -6 & -7  & -9  \\ 1 & 5 &  3  & 4  \\ 0  & 0 &  4  &  2   \\ 0  & 0 & -1  &  1 \end{bmatrix} \qquad  (\M{A}-2\cdot \M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} -2 & -6  &  -7  & -9  \\ 1 & 3  &  3  &  4  \\  0 & 0  &  2 &  2  \\  0 & 0  &  -1 &  -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\hspace{-1.5cm} \begin{cases} -2x -6y-7z-9w = 0 \Rightarrow -2x-6y-2w =0 \\ x+3y+3z+4w = 0   \Rightarrow x+3y+w =0 \\ 2z+2w = 0 \Rightarrow z=-w \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}  x = -3y-w   \\  z = -w  \end{cases}\]

Przykład 8 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{cases}  x = -3y-w   \\  z = -w  \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad  \begin{bmatrix} -3\alpha-\beta  \\ \alpha  \\ -\beta\\ \beta \end{bmatrix}\]

  • Będą 2 klatki stopnia 1

Przykład 8 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=2 krotność 2 i \lambda = 3 krotność 2
  • dla \lambda =3
  •     \[\hspace{-1.52cm}\begin{bmatrix} 0  & -6 & -7  & -9  \\ 1 & 5 &  3  & 4  \\ 0  & 0 &  4  &  2   \\ 0  & 0 & -1  &  1 \end{bmatrix} \qquad  (\M{A}-3\cdot \M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} -3 & -6  &  -7  & -9  \\ 1 & 2  &  3  &  4  \\  0 & 0  &  1 &  2  \\  0 & 0  &  -1 &  -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\hspace{-1.5cm} \begin{cases} -3x -6y-7z-9w = 0 \Rightarrow -3x-6y+5w =0 \\ x+2y+3z+4w = 0   \Rightarrow x+2y-2w =0 \\ z+2w = 0 \Rightarrow z=-2w \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}  -6w+5w=0    \\  x = -2y \\   z = -2w \end{cases}\]

Przykład 8 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{cases}  w=0=z \Rightarrow w=0   \\  x = -2y \\  \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad  \begin{bmatrix} -2\alpha  \\ \alpha  \\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\]

  • Będą 1 klatki stopnia 2

Przykład 8 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} -3 & -6  &  -7  & -9  \\ 1 & 2  &  3  &  4  \\  0 & 0  &  1 &  2  \\  0 & 0  &  -1 &  -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} -2\alpha \\ \alpha  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -3x -6y-7z-9w = -2\alpha  \\ x+2y+3z+4w = \alpha   \\ z+2w = 0  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3x-6y+5w=-2\alpha \\ x+2y-2w=\alpha     \\  z=-2w \end{cases}\]

\begin{cases} -w = \alpha \\ x = -\alpha - 2y \end{cases}  \mbox{ Wówczas } \begin{bmatrix} -\alpha-2\beta \\ \beta \\ 2\alpha \\ -\alpha  \end{bmatrix}

Przykład 8 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} -3 & -6  &  -7  & -9  \\ 1 & 2  &  3  &  4  \\  0 & 0  &  1 &  2  \\  0 & 0  &  -1 &  -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} \beta-\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -x + y+3z-2w = \beta - \alpha \Rightarrow x=y-\alpha  \\ -x+y+4z-2w   = \beta \Rightarrow z =0 \\ -z+w = 0 \Rightarrow z= w \end{cases}\]

Wybieranie wektorów dla macierzy przejścia

  • Łańcuchy Jordana wyglądają tak:
  •     \[\begin{bmatrix} -3\alpha - \beta \\ \alpha \\ -\beta \\ \beta  \end{bmatrix} \qquad \qquad \begin{bmatrix} -2\alpha \\ \alpha \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} -\alpha-2\beta \\ \beta \\ 2\alpha \\ -\alpha \end{bmatrix}\]

  • dla \lambda=2, to {\Y{\alpha=1}}, potem {\W{\beta =1}}
  • dla \lambda=3, to {\ZLO{\alpha=1}}
  •     \[\begin{bmatrix}  {\Y{-3}} & {\W{-1}} & {\ZLO{-2}} & {\ZLO{-1}} \\  {\Y{1}} &  {\W{0}} &  {\ZLO{1}} &  {\ZLO{0}} \\  {\Y{0}} & {\W{-1}} &  {\ZLO{0}} &  {\ZLO{2}} \\  {\Y{0}} &  {\W{1}} &  {\ZLO{0}} & {\ZLO{-1}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\Y{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\W{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ZLO{3}} & {\ZLO{1}} \\ 0 & 0 & {\ZLO{0}} & {\ZLO{3}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}  {\Y{-3}} & {\W{-1}} & {\ZLO{-2}} & {\ZLO{-1}} \\  {\Y{1}} &  {\W{0}} &  {\ZLO{1}} &  {\ZLO{0}} \\  {\Y{0}} & {\W{-1}} &  {\ZLO{0}} &  {\ZLO{2}} \\  {\Y{0}} &  {\W{1}} &  {\ZLO{0}} & {\ZLO{-1}} \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Przykład 9

  • To może stopnia 6
  •     \[A = \begin{bmatrix}  1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  1 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  1 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  2 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1 \\ \end{bmatrix}\]

Przykład 9 – wielomian charakterystyczny

    \[\det(\M{A}-\lambda \M{I})= \begin{vmatrix}  1-\lambda &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  -\lambda &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  1-\lambda &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  1-\lambda &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  2-\lambda &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1-\lambda \\ \end{vmatrix} =\]

    \[= (1-\lambda)^2\cdot \begin{vmatrix} -\lambda &  0 &  0 & -1  \\  -1 &  1-\lambda &  1 & -1  \\  0 &  0 &  1-\lambda &  0 \\  1 &  0 &  0 &  2-\lambda  \\ \end{vmatrix} =\]

Przykład 9 – wielomian charakterystyczny

    \[= (1-\lambda)^2\cdot \begin{vmatrix} -\lambda &  0 &  0 & -1  \\  -1 &  1-\lambda &  1 & -1  \\  0 &  0 &  1-\lambda &  0 \\  1 &  0 &  0 &  2-\lambda  \\ \end{vmatrix} = (1-\lambda)^3\cdot \begin{vmatrix} -\lambda &  0  & -1  \\  -1 &  1-\lambda  & -1  \\  1 &  0 &   2-\lambda  \\ \end{vmatrix} =\]

    \[= (1-\lambda)^4 \begin{vmatrix} -\lambda  & -1  \\  1        &    2-\lambda  \\ \end{vmatrix} = (1-\lambda)^6\]

    \[\det(\M{A}-\lambda\M{I})=0 \Rightarrow \lambda = 1 \mbox{ krotność algebraiczna 6}\]

Przykład 9 – wektory własne

  • \lambda = 1 Zagadnienie własne to (\M{A}-1\cdot \M{I})\M{v}=\M{0}
  •     \[\begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  -1 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  0 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  1 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix}   \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ t \\ s \end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} -y-t+s=0   \quad \Rightarrow  \ s=0 \\ -x-y+w-t+s = 0 \quad \Rightarrow \ w=x \\ y+t = 0 \quad \Rightarrow \ y=-t \end{cases}\]

Przykład 9 – wektory własne

    \[\begin{cases} s = 0 \\ w = x \\  y = -t \end{cases} \Rightarrow  \begin{bmatrix} \alpha \\ -\beta \\ \gamma \\ \alpha \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}, \mbox{ gdzie } \alpha^2+\beta^2 +\gamma^2>0\]

  • Możemy wybrać do 3 wektorów własnych liniowo niezależnych {\G{\dim \ker (\M{A} - \lambda\M{I}) = 3}}
  • Będą zatem 3 klatki Jordana. Możliwe konfiguracje (4,1,1), (3,2,1), (2,2,2), która dokładnie okaże się w trakcie.

Wektor dołączony (2)

  • Tak czy siak będzie potrzebny wektor dołączony
  •     \[\begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  -1 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  0 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  1 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix}   \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ t \\ s \end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix} \alpha \\ -\beta \\ \gamma \\ \alpha \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{cases} {\R{0 = \alpha }} \\ -y-t+s=-\beta       \quad \Rightarrow \ s=0 \\ -x-y+w-t+s = \gamma \quad \Rightarrow \ w=\gamma+\beta + x \\ y+t = \beta         \quad \Rightarrow \ y=-t+\beta \end{cases}\]

Wektory dołączone (2)

    \[\begin{cases} {\R{0 = \alpha }} \\ s = 0 \\ w = \gamma+\beta+x \\  y = -t+\beta \end{cases} \Rightarrow  \begin{bmatrix} \delta \\ -\varphi+\beta \\ \epsilon \\ \gamma + \beta + \delta \\ \varphi \\ 0 \end{bmatrix}, \mbox{ gdzie } {\R{0}}^2+\beta^2 +\gamma^2>0\]

Wektor dołączony (3)

    \[\begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  -1 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  0 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  1 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix}   \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ t \\ s \end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix} \delta \\ -\varphi+\beta \\ \epsilon \\ \gamma + \beta + \delta \\ \varphi \\ 0 \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} {\R{0 = \delta }} \\ -y-t+s=-\varphi+\beta       \quad \Rightarrow \ s=\beta \\ -x-y+w-t+s = \epsilon \quad \Rightarrow \ w=\epsilon + \varphi -\beta + x \\ {\R{0 = \gamma + \beta + \delta}} \quad {\R{\Rightarrow  \gamma =  -\beta}} \\ y+t = \varphi         \quad \Rightarrow \ y=-t + \varphi \end{cases}\]

Wektory dołączone (3)

    \[\begin{cases} {\R{0 = \delta }} \\ s = \beta \\ w = \epsilon+\varphi-\beta+x \\  {\R{\gamma =  -\beta}} \\ y = -t+\varphi \end{cases} \Rightarrow  \begin{bmatrix} \eta \\ -\kappa+\varphi \\ \theta \\ \epsilon +\varphi- \beta + \eta \\ \kappa \\ \beta \end{bmatrix}, \mbox{ gdzie } {\R{0}}^2+{\R{2}}\beta^2 +>0\]

Wektory dołączone (4){\R{?}}

    \[\begin{cases} s = \varphi \\ w = \theta+\kappa - \varphi+x \\  y = -t+\kappa \end{cases} \Rightarrow  \begin{bmatrix} \psi \\ -\pi+\kappa \\ \Omega \\ \theta +\kappa - \varphi + \psi \\ \pi \\ \varphi \end{bmatrix}, \mbox{ gdzie } \alpha^2+\beta^2 +\gamma^2>0\]

  • Tu już nie ma, ani \alpha, ani \beta, ani \gamma, które były w wektorze własnym.

Podsumowanie

    \[\hspace{-0.3cm} \begin{bmatrix} {\ZLO{\alpha}} \\ -{\ZLO{\beta}} \\ {\ZLO{\gamma}} \\ {\ZLO{\alpha}} \\ {\ZLO{\beta}} \\ 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \delta \\ -\varphi+{\ZLO{\beta}} \\ \epsilon \\ {\ZLO{\gamma}} + {\ZLO{\beta}} + \delta \\ \varphi \\ 0 \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \alpha = 0  \end{matrix} \end{tiny}} \to  \begin{bmatrix} \eta \\ -\kappa+\varphi \\ \theta \\ \epsilon +\varphi- {\ZLO{\beta}} + \eta \\ \kappa \\ {\ZLO{\beta}} \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \alpha = 0 \\ \delta = 0 \\ \gamma = -\beta \end{matrix} \end{tiny}} {\G{\to \begin{bmatrix} \psi \\ -\pi+\kappa \\ \Omega \\ \theta +\kappa - \varphi + \psi \\ \pi \\ \varphi \end{bmatrix}}}\]

  • Pierwszy zależy od \alpha, \beta, \gamma
  • Drugi zależy od \beta, \gamma \quad oraz {\R{\alpha = 0}}
  • Trzeci zależy od \beta \quad oraz {\R{\delta = 0}} \wedge {\R{\gamma= -\beta}}
  • Mamy klatkę stopnia 1, stopnia 2 i stopnia 3

Wybór wektorów do macierzy przejścia

  • Wektor dla klatki stopnia {\ZLO{1}} to np.
  •     \[{\ZLO{\begin{cases} \alpha = 1 \\ \beta = \gamma = \delta= \varphi = \epsilon = \eta = \kappa = \theta = \psi = \pi = \Omega = 0 \end{cases}}}\]

  • Wektory dla klatki stopnia {\Y{3}} to np.
  •     \[{\Y{\begin{cases} \beta = 1 \\ \gamma = -1 \\ \alpha =  \delta= \varphi = \epsilon = \eta = \kappa = \theta = \psi = \pi = \Omega = 0 \end{cases}}}\]

  • Wektory dla klatki stopnia {\W{2}} to np.
  •     \[{\W{\begin{cases} \gamma = 1 \\ \alpha = \beta = \delta= \varphi = \epsilon = \eta = \kappa = \theta = \psi = \pi = \Omega = 0 \end{cases}}}\]

Macierz przejścia – zmiany bazy

    \[\hspace{-0.7cm} \M{W} = \begin{bmatrix}  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{1}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} & {\Y{-1}} &  {\W{0}} &  {\W{1}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\ \end{bmatrix}\]

    \[\hspace{-0.7cm}\begin{bmatrix}  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{1}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} & {\Y{-1}} &  {\W{0}} &  {\W{1}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix}  {\ZLO{1}} &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0         &  {\Y{1}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  0 &  0 \\  0 		   &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  {\Y{1}} &  0 &  0 \\  0 		   &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  0 &  0\\  0 		   &  0 &  0 &  0 &  {\W{1}} &  {\W{1}} \\  0 		   &  0 &  0 &  0 &  {\W{0}} &  {\W{1}} \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix}  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{1}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} & {\Y{-1}} &  {\W{0}} &  {\W{1}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\ \end{bmatrix}^{-1}=\]

    \[=\begin{bmatrix}  1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  1 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  1 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  2 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1 \\ \end{bmatrix} = \M{A}\]

Sposób 2 (szybszy)

  • Kolejne potęgi macierzy \M{B} = \M{A} - 1\cdot \M{I}
  •     \[\hspace{-1cm} \M{B} = \begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  -1 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  0 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  1 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix}  \qquad \qquad \M{B}^2 =\begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix}\]

  • \M{B}^3 = \begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} \mbox{Teraz wybieramy dowolny} \\  \mbox{wektor, taki aby } \M{B}^3\M{u}^{3}=\M{0} \\ \mbox{oraz } \M{B}^{\R{2}}\M{u}^{3}{\R{\neq}} \M{0} \mbox{ np.} \end{matrix} \begin{small}  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}  \end{small}

Poprzednie wektory dołączone

  • Ten wektor to np.
  •     \[\M{u}^{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

  • Wówczas obliczamy kolejne coraz niższego rzędu wektory dołączone, tzn.
  • \M{u}^{2}= \M{B} \cdot \M{u}^3
  • \M{u}^{1}= \M{B}^2 \cdot \M{u}^3

    \[\M{u}^{2}= \M{B} \cdot \M{u}^3 =\begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  -1 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  0 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  1 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

    \[\M{u}^{1}= \M{B}^2 \cdot \M{u}^3 = \begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Skąd wiadomo w takim razie jakie będą klatki Jordana

  • d_1 = 6 - \rank \M{B} = 6- 3  = 3
  • d_2 = 6 - \rank \left( \M{B}^2 \right) = 6- 1 = 5
  • d_3 = 6 - \rank \left( \M{B}^3 \right) = 6- 0 = 6
  • Jak nam wyszło 6 to następne wiadomo, że będzie 6
  • Klatek będzie d_1 = 3
  • Klatek stopnia większego od 1 będzie d_2-d_1 =2
  • Klatek stopnia większego od 2 będzie d_3-d_2 =1
  • Klatek stopnia większego od 3 będzie d_4-d_3 =0

Mamy wektory tylko dla klatki stopnia 3

    \[\begin{bmatrix} 0 & {{0}} & 0 \\ -1 & {{1}} & 0 \\ -1 & {{1}} & 0 \\ 0 & {{0}} & 0 \\ 1 & {{0}} & 0 \\ 0 & {{0}} & 1 \end{bmatrix}\]

  • Teraz wybieramy wektor dołączony rzędu 2 dla klatki stopnia 2, ale niezależny liniowo już z tymi co zostały użyte w znalezionej klatce.
  • Może być to np. \begin{bmatrix}</li> 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T

Dla klatki stopnia 2
\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T

  • Oczywiście nie jest on także wektorem własnym, ale jest, taki że
  • \M{B}^2 \cdot \  \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T = \M{0}

  • Wektor własny dla tego wektora to
  •     \[\begin{bmatrix}  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  -1 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  0 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  1 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Teraz mamy już wektory dla dwóch klatek

    \[\begin{bmatrix}  {\Y{0}} & {\Y{0}} & {\Y{0}} &  {\W{0}} & {\W{0}} \\ {\Y{-1}} & {\Y{1}} & {\Y{0}} &  {\W{0}} & {\W{0}} \\ {\Y{-1}} & {\Y{1}} & {\Y{0}} &  {\W{1}} & {\W{0}} \\  {\Y{0}} & {\Y{0}} & {\Y{0}} &  {\W{0}} & {\W{1}} \\  {\Y{1}} & {\Y{0}} & {\Y{0}} &  {\W{0}} & {\W{0}} \\  {\Y{0}} & {\Y{0}} & {\Y{1}} &  {\W{0}} & {\W{0}} \end{bmatrix}\]

  • Pozostało wybrać wektor własny dla trzeciej klatki Jordana stopnia 1, który będzie niezależny liniowo z już wybranymi.
  • Może to być np.
    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0  \end{bmatrix}

    \[\hspace{-0.7cm}\begin{bmatrix}  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\R{1}} &  {\Y{0}} &  {\W{1}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} & {\R{0}} &  {\W{0}} &  {\W{1}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix}  {\ZLO{1}} &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0         &  {\Y{1}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  0 &  0 \\  0 		   &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  {\Y{1}} &  0 &  0 \\  0 		   &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  0 &  0\\  0 		   &  0 &  0 &  0 &  {\W{1}} &  {\W{1}} \\  0 		   &  0 &  0 &  0 &  {\W{0}} &  {\W{1}} \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix}  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} & {\Y{-1}} &  {\R{1}} &  {\Y{0}} &  {\W{1}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} & {\R{0}} &  {\W{0}} &  {\W{1}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{1}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\  {\ZLO{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{0}} &  {\Y{1}} &  {\W{0}} &  {\W{0}} \\ \end{bmatrix}^{-1}=\]

    \[=\begin{bmatrix}  1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  1 \\ -1 & -1 &  1 &  1 & -1 &  1 \\  0 &  0 &  0 &  1 &  0 &  0 \\  0 &  1 &  0 &  0 &  2 &  0 \\  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1 \\ \end{bmatrix} = \M{A}\]

Oczywiście wpasowuje się to w nasz wcześniej wyznaczony model tzn.

    \[\hspace{-0.3cm} \begin{bmatrix} {\ZLO{\alpha}} \\ -{\ZLO{\beta}} \\ {\ZLO{\gamma}} \\ {\ZLO{\alpha}} \\ {\ZLO{\beta}} \\ 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \delta \\ -\varphi+{\ZLO{\beta}} \\ \epsilon \\ {\ZLO{\gamma}} + {\ZLO{\beta}} + \delta \\ \varphi \\ 0 \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \alpha = 0  \end{matrix} \end{tiny}} \to  \begin{bmatrix} \eta \\ -\kappa+\varphi \\ \theta \\ \epsilon +\varphi- {\ZLO{\beta}} + \eta \\ \kappa \\ {\ZLO{\beta}} \end{bmatrix}_{\begin{tiny} \begin{matrix} \alpha = 0 \\ \delta = 0 \\ \gamma = -\beta \end{matrix} \end{tiny}} {\G{\to \begin{bmatrix} \psi \\ -\pi+\kappa \\ \Omega \\ \theta +\kappa - \varphi + \psi \\ \pi \\ \varphi \end{bmatrix}}}\]

  • klatka st. 1 to \alpha = 1, \beta = 0, \gamma = 0
  • klatka st. 3 to \beta = 1, \gamma = -1, \epsilon = 1, reszta to 0
  • klatka st. 2 to \gamma= 1 reszta to 0

Przykład 10 wielomian charakterystyczny

    \[\M{A} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2  \\ \end{bmatrix}\]

    \[\det(\M{A}-\lambda\M{I}) =  \begin{vmatrix}  2-\lambda &  -1         \\ 3         &  -\sqrt{3}i \\ \end{vmatrix}=\]

    \[= (2-\lambda)^2+3= 4- 4\lambda +\lambda^2+3=\lambda^2-4\lambda+7\]

Przykład 10 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda^2-4\lambda+7=0 \Rightarrow \lambda=2+\sqrt{3}{\R{i}} \vee \lambda=2-\sqrt{3}{\R{i}}
  • dla \lambda =2+\sqrt{3}{\R{i}}
  •     \[\hspace{-1.52cm}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2  \\ \end{bmatrix} \qquad  (\M{A}-(2+\sqrt{3}i)\cdot \M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} -\sqrt{3}i  & -1         \\ 3           & -\sqrt{3}i \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0   \end{bmatrix}\]

        \[\hspace{-1.5cm} \begin{cases} -\sqrt{3}ix -y = 0 \\ 3x-\sqrt{3}iy = 0    \end{cases} \Rightarrow   x = \frac{\sqrt{3}}{3}iy\]

Przykład 10 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[x = \frac{\sqrt{3}}{3}iy  \qquad \Rightarrow \qquad  \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3}i\alpha \\ \alpha \end{bmatrix}\]

  • Będzie 1 klatka stopnia 1

Przykład 10 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I}) \ \ \Rightarrow \ \ \lambda^2-4\lambda+7=0 \Rightarrow \lambda=2+\sqrt{3}{\R{i}} \vee \lambda=2-\sqrt{3}{\R{i}}
  • dla \lambda =2{\R{-}}\sqrt{3}{\R{i}}
  •     \[\hspace{-1.52cm}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2  \\ \end{bmatrix} \qquad  (\M{A}-(2{\R{-}}\sqrt{3}i)\cdot \M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} \sqrt{3}i  & -1         \\ 3           & \sqrt{3}i \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0   \end{bmatrix}\]

        \[\hspace{-1.5cm} \begin{cases} \sqrt{3}ix -y = 0 \\ 3x+\sqrt{3}iy = 0    \end{cases} \Rightarrow   x = {\R{-}}\frac{\sqrt{3}}{3}iy\]

Przykład 10 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[x = -\frac{\sqrt{3}}{3}iy \qquad \Rightarrow \qquad  \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3}i\alpha \\ \alpha \end{bmatrix}\]

  • Będą 1 klatki stopnia 1

Rozkład macierz w postaci Jordana

  • Wektory własne to
  •     \[\begin{bmatrix} +\frac{\sqrt{3}}{3}i\alpha \\ \alpha \end{bmatrix}  \qquad \qquad  \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3}i\alpha \\ \alpha \end{bmatrix}\]

  • Powstały rozkład dla \alpha = 1
  •     \[\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2  \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} {\ZLO{\frac{\sqrt{3}}{3}{\R{i}}}} & {\W{-\frac{\sqrt{3}}{3}{\R{i}} }}\\ {\ZLO{1}} & {\W{1}} \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} {\ZLO{2+\sqrt{3}{\R{i}}}} & 0 \\  0 & {\W{2-\sqrt{3}{\R{i}}}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\ZLO{\frac{\sqrt{3}}{3}{\R{i}}}} & {\W{-\frac{\sqrt{3}}{3}{\R{i}} }}\\ {\ZLO{1}} & {\W{1}} \\ \end{bmatrix}^{-1}\]

Rozkład macierz w postaci Jordana baza rzeczywistych

  • Wektory własne to
  •     \[\hspace{-1.0cm}\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3}i\alpha \\ \alpha \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ \alpha \end{bmatrix} +i\begin{bmatrix} +\frac{\sqrt{3}}{3}\alpha \\ 0 \end{bmatrix}  \qquad \qquad  \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3}i\alpha \\ \alpha \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ \alpha \end{bmatrix} +i\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3}\alpha \\ 0 \end{bmatrix}\]

  • Można też tak jak ktoś nie che mieć liczb zespolonych w rozkładzie
  •     \[\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} 2 & \sqrt{3} \\  -\sqrt{3} & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^{-1}\]

        \[\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} 2 & -\sqrt{3} \\  \sqrt{3} & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^{-1}\]

Przykład 11 wielomian charakterystyczny

    \[\begin{bmatrix}  2  &  0 &  3  &  0  \\  1  &  2 &  0  &  3  \\ -3  &  0 &  2  &  0  \\  0  & -3 &  1  &  2 \end{bmatrix} \qquad \det(\M{A}-\lambda\M{I}) =  \begin{vmatrix}  2-\lambda & 0         &  3         &  0       \\ 1         & 2-\lambda &  0         &  3       \\ -3        & 0         &  2-\lambda &  0       \\ 0         & -3        &  1         & 2-\lambda \end{vmatrix}=\]

    \[= (2-\lambda)\begin{vmatrix} 2-\lambda & 0         & 3          \\ 0         & 2-\lambda & 0          \\ -3        & 1         & 2-\lambda  \\ \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 2-\lambda & 3 \\ -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 2-\lambda \\ \end{vmatrix} =\]

    \[=(2-\lambda)^4+9(2-\lambda)^2 + 81 + 9(2-\lambda)^2 =\]

    \[=(2-\lambda)^2\left((2-\lambda)^2+9\right)+ 9\left((2-\lambda)^2+9\right)= \left((2-\lambda)^2+9\right)^2\]

Przykład 11 wartości własne i wektory własne

  • \det(\M{A}-\lambda\M{I})=0 \ \ \Rightarrow \ \ \lambda=2+3{\R{i}} krotność algebraiczna 2 oraz \lambda=2{\R{-}}3{\R{i}} też z krotnością algebraiczną 2
  • dla \lambda =2+3{\R{i}}
  •     \[\hspace{-1.52cm}\begin{bmatrix}  2  &  0 &  3  &  0  \\  1  &  2 &  0  &  3  \\ -3  &  0 &  2  &  0  \\  0  & -3 &  1  &  2 \end{bmatrix} \qquad  (\M{A}-(2+3{\R{i}})\cdot \M{I})\M{v} = 0  \ \Rightarrow \  \begin{bmatrix} -3i &  0  &  3  & 0  \\ 1 & -3i  &  0  &  3  \\  -3 & 0  &  -3i &  0  \\  0 & -3  &  1 &  -3i \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

        \[\hspace{-1.5cm} \begin{cases} -3ix+3z=0     \\ x -3iy+3w=0   \\ -3x-3iz = 0   \\ -3y+z -3iw =0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z = ix \\  x = 3iy-3w    \\ ix - 3y -3iw = 0  \end{cases}\]

Przykład 11 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{cases} z = ix \\  x = 3iy-3w    \\ ix - 3y -3iw = 0  \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases} z = ix \\ x = 3iy-3w \\ -3y -3iw-3y-3iw=0 \end{cases}\]

        \[\begin{cases} z= ix \\ x = 0 \\ w = yi \end{cases} \qquad  \begin{bmatrix} 0  \\ \alpha  \\ 0\\ \alpha i \end{bmatrix}\]

  • Będzie 1 klatka stopnia 2

Przykład 11 – Wektor dołączony

    \[\begin{bmatrix} -3i &  0  &  3  & 0  \\ 1 & -3i  &  0  &  3  \\  -3 & 0  &  -3i &  0  \\  0 & -3  &  1 &  -3i \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 0  \\ \alpha  \\ 0\\ \alpha i \end{bmatrix}\]

    \[\begin{cases} -3ix+3z=0     \\ x -3iy+3w=\alpha   \\ -3x-3iz = 0   \\ -3y+z -3iw =\alpha i \\ \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases} z = ix \\ x = 3iy-3w+\alpha\\ -3y+ix-3iw=\alpha i \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} z = ix \\ w = y i \\ x = \alpha  \end{cases}\]

Przykład 11 – Wektor własny

  • Wektor własny jest postaci
  •     \[\begin{cases} z = ix \\ w = y i \\ x = \alpha  \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad  \begin{bmatrix} \alpha  \\ \beta  \\ \alpha i \\ \beta i \end{bmatrix}\]

  • Będzie 1 klatka stopnia 2

Rozkład macierz w postaci Jordana

  • Łańcuchy Jordana to:
  •     \[\begin{bmatrix} 0 \\ \alpha  \\ 0  \\ \alpha i  \end{bmatrix} \to  \begin{bmatrix} \alpha  \\ \beta  \\ \alpha i \\ \beta i \end{bmatrix} \qquad \qquad \begin{bmatrix} 0 \\ \alpha  \\ 0  \\ -\alpha i  \end{bmatrix} \to  \begin{bmatrix} \alpha  \\ \beta  \\ -\alpha i \\ -\beta i \end{bmatrix}\]

  • Powstały rozkład dla \alpha = 1
  •     \[\hspace{-1.5cm}\begin{bmatrix} {\ZLO{0}} & {\ZLO{1}} & {\W{0}}  &  {\W{1}} \\ {\ZLO{1}} & {\ZLO{0}} & {\W{1}}  &  {\W{0}} \\ {\ZLO{0}} & {\ZLO{i}} & {\W{0}}  & {\W{-i}} \\ {\ZLO{i}} & {\ZLO{0}} & {\W{-i}} &  {\W{0}} \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} {\ZLO{2+3i}} & {\ZLO{1}}    & 0    & 0    \\ {\ZLO{0}}    & {\ZLO{2+3i}} & 0    & 0    \\ 0    & 0    & {\W{2-3i}} & {\W{1}}    \\ 0    & 0    & {\W{0}}    & {\W{2-3i}} \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} {\ZLO{0}} & {\ZLO{1}} & {\W{0}}  &  {\W{1}} \\ {\ZLO{1}} & {\ZLO{0}} & {\W{1}}  &  {\W{0}} \\ {\ZLO{0}} & {\ZLO{i}} & {\W{0}}  & {\W{-i}} \\ {\ZLO{i}} & {\ZLO{0}} & {\W{-i}} &  {\W{0}} \\ \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Rozkład macierz w postaci Jordana baza rzeczywistych

  • Łańcuch Jordana
  •     \[\begin{bmatrix} 0 \\ \alpha  \\ 0  \\ \alpha i  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ \alpha  \\ 0  \\ 0  \end{bmatrix}+{\R{i}}\begin{bmatrix} 0 \\ 0  \\ 0  \\ \alpha  \end{bmatrix} \qquad \to  \qquad \begin{bmatrix} \alpha  \\ \beta  \\ \alpha i \\ \beta i \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha  \\ \beta  \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}+{\R{i}}\begin{bmatrix} 0  \\ 0  \\ \alpha  \\ \beta  \end{bmatrix}\]

  • Można też tak jak ktoś nie che mieć liczb zespolonych w rozkładzie
  •     \[\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0  \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} 2     & 3    & {\R{1}}    & 0    \\ -3    & 2   & 0    & {\R{1}}    \\ 0    & 0    & 2 & 3    \\ 0    & 0    & -3    & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0  \end{bmatrix}^{-1} = \M{A}\]

Rozkład Jordana

  • Na pierwszy rzut oka wygląda bardzo podobnie
  •     \[\M{A} = \M{W} \M{J} \M{W}^{-1},\]

        \[\M{J} = \begin{bmatrix} \M{K}_1 & \M{0} & \cdots & \M{0} \\ \M{0}         & \M{K}_2 & \cdots & \M{0} \\ \vdots         & \vdots & \vdots & \vdots \\ \M{0}         & \M{0} & \cdots & \M{K}_{\R{q}} \\ \end{bmatrix} \qquad \M{K}_{\R{i}} = \begin{bmatrix} \lambda_{\R{i}} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{\R{i}} & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{\R{i}} & \cdots & 0 \\ \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{\R{i}} \\ \end{bmatrix},\]

    gdzie i\in\{1,2, \ldots q \},

  • Jednak teraz Macierz \M{J} nie jest diagonalna.
  • Macierz \M{K}_i są nazywane klatkami i są różnych stopni.

NAJWAŻNIEJSZE

  • Każdą macierz \M{A} można zapisać w postaci Jordana.
  •     \[\M{A} = \M{W} \cdot \M{J} \cdot \M{W}^{-1}\]

  • Macierz Jordana \M{J} jest wyznacza jednoznacznie z dokładnością do ewentualnego przestawiania kolejności klatek Jordana.
  • Nie ma zatem możliwości, aby dla tej samej macierzy \M{A} istniały dwie różne macierze Jordana \M{J}, które będą miały inną liczbę i rodzaj klatek. \mbox{{\G{{\tiny Mówiąc to stwierdzenie wykluczam tu używanie rzeczywistych klatek dla zespolonych wartości własnych}}}}
  • Natomiast macierz przejścia \M{W} jest wyznaczana niejednoznacznie, jest ich nieskończenie wiele do wyboru. \mbox{{\G{{\tiny To że jest nieskończenie wiele dobrych nie znaczy, że totalnie byle jaka macierz będzie ok.}}}}

NAJWAŻNIEJSZE

  • Macierz \M{W} różnie jest nazywana: macierz zmiany bazy, macierz modalna, macierz podobieństwa, macierz ustalająca podobieństwo
  • Macierz \M{W} składa się z wektorów własnych liniowo niezależnych i wówczas rozkład Jordana sprowadza się do diagonalizacji macierzy.
  • Natomiast jeżeli liczba wektorów własnych liniowo niezależnych jest mniejsza od n (stopień macierz \M{A}), to wówczas trzeba umiejętnie wyszukać wektory dołączone.
  • Następnie te wektory trzeba umiejętnie dołożyć do wektorów własnych aby zbudować macierz \M{W}

Procedura

  • Dana jest dowolna macierz \M{A} o stopniu n
  • w(\lambda) wielomian charakterystyczny macierzy \M{A} powstały z
  •     \[\det \left( \M{A} -\lambda\M{I} \right) \qquad \Rightarrow \qquad w(\lambda)\]

  • Rozwiązanie równania charakterystycznego w(\lambda) = 0 są wartości własne
  • \lambda_i – wartość własna, dla i\in\{1,2,\ldots,r\}
  • przy czym mamy \lambda_i\neq \lambda_j, gdy i,j\in\{1,2,\ldots,r\}\wedge i \neq j
  • r liczba różnych wartości własnych
  • k_i – krotność algebraiczna i-tej wartości własnej \lambda_i
  • zawsze jest spełnione
  •     \[k_1+k_2+k_3 + \ldots + k_r = n\]

Procedura

  • Dla każdej z kolejnych wartości własnych \lambda_i, gdzie i\in\{1,2,\ldots,r\} przeprowadzamy szereg czynności
    • Wyznaczamy przestrzeń własną
    •     \[\ker \left( \M{A}-\lambda_i\M{I} \right)\]

    • Wymiar przestrzeni własnej.
    •     \[\dim \left( \ker \left( \M{A}-\lambda_i\M{I} \right)\right) \quad  = \quad  d_1 \quad = \quad  n-\rank (\M{A}-\lambda_i\M{I})\]

    • Jeżeli d_1 = k_i, to wybieramy dowolne k_i wektorów niezależnych liniowo
    • Natomiast jeżeli d_1 < k_i, to

Procedura d_1<k_i

  • Jeżeli d_1 < k_i, to wyznaczamy dodatkowo k_i - d_1 wektorów dołączonych, do d_1 wektorów własnych.
    • d_1 mówi o liczbie klatek
    • Każdej klatce odpowiada dokładnie jeden wektor własny
    • Suma stopni tych klatek jest równa krotności algebraicznej wartości własnej \lambda_i
    •     \[s_1+s_2+\ldots+ s_{d_1} = k_i\]

    • Dla łatwiejszego opisu dalszej teorii przyjmijmy, że są w kolejności nierosnącej
    •     \[m = s_1\geq s_2 \geq \ldots \geq s_{d_1}\]

    • Identyfikujemy stopnie klatek Jordana

Algorytmiczne wyznaczanie liczby i rodzaju klatek

  • Obliczamy wymiar jądra kolejnych potęg (\M{A}-\lambda_i\M{I})
    • d_1 = \dim \ker \left( (\M{A}-\lambda_i\M{I})\right)
    • d_2 = \dim \ker \left( (\M{A}-\lambda_i\M{I})^2\right)
    • d_3 = \dim \ker \left( (\M{A}-\lambda_i\M{I})^3\right)
    • \vdots
  • Każdą z tych liczb można równoważnie policzyć
    • d_1 = n-\rank (\M{A}-\lambda_i\M{I})
    • d_2 = n-\rank \left( (\M{A}-\lambda_i\M{I})^2\right)
    • d_3 = n-\rank \left( (\M{A}-\lambda_i\M{I})^3\right)
    • \vdots
  • Wynika to z twierdzenia Sylvestra
  •     \[\dim \ker \left( \M{B} \right) + \dim \im \left(\M{B} \right) = \dim V\]

Algorytmiczne wyznaczanie liczby i rodzaju klatek

  • Wówczas
    • d_1 to liczba klatek
    • d_2-d_1 to liczba klatek stopnia większego od 1
    • d_3-d_2 to liczba klatek stopnia większego od 2
    • \vdots
  • Pojawia się pytanie do jakiego indeksu m wyznaczmy to d_m?
    • d_{m}-d_{m-1}\neq0 robimy dalej
    • d_{m+1}-d_{m}=0 tu kończmy.
    • Stopień największej klatki to m = s_1
    • Przy czym wcale \textbf{nie} jest powiedziane, że d_{m-1}=d_{m}=d_{m+1}=\ldots=0
    • Może być np. d_{m-1}=d_{m}=d_{m+1}=\ldots=2

Fragment macierz Jordana

  • Teraz znamy stopnie s_1, s_2, \ldots, s_{d_1} wszystkich klatek Jordana dla wartości własnej \lambda_i,
  • Znamy zatem fragment macierzy \M{J}, związany z wartością własną \lambda_i oznaczmy ją przez \M{J}_i

    \[\hspace{-0.5cm}\M{J} = \begin{bmatrix} \ddots & \vdots                                      & \vdots                                       & \vdots & \vdots                                           &  \\ \ldots & \begin{bmatrix} 		 \lambda_i & 1         & \ldots & 0      \\  		 0         & \lambda_i & \ldots & 0      \\  		 \vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots \\  		0         & 0         & \ldots & \lambda_i 		\end{bmatrix}                                &                                              &        &                                               & \ldots \\  \ldots & 		              				    	 & \begin{bmatrix} 											    		 \lambda_i & 1         & \ldots & 0      \\  														 0         & \lambda_i & \ldots & 0      \\  													   \vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots \\  														 0         & 0         & \ldots & \lambda_i 													   \end{bmatrix}                                &        &                                                & \ldots \\ \ldots &                                             &                                              & \ddots &                                                 & \ldots \\ \ldots & 											 &                                              &        & \begin{bmatrix} 											    															   \lambda_i & 1         & \ldots & 0      \\  																												 0         & \lambda_i & \ldots & 0      \\  													  															 \vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots \\  																												 0         & 0         & \ldots & \lambda_i 													  															 \end{bmatrix}                                & \ldots  \\        &                \vdots                       & \vdots                                       & \vdots  & \vdots                                        & \ddots \\  \end{bmatrix}\]

i-ty fragment macierzy przejścia \M{W}

  • Wyznaczamy blok wektorów, dla klatki stopnia s_1, czyli macierz \M{W}_{i,1} o wymiarach [n\times s_1],
  • Następnie w podobny sposób dla kolejnej klatki stopnia s_2, czyli niewiększego, czyli \M{W}_{i,2} o wymiarach [n\times s_2] itd.
  • Aż do ostatniego bloku \M{W}_{i,d_i} o wymiarach [n\times s_{d_1}]
  • W ten sposób mamy fragment macierzy przejścia o wymiarach [n\times k_i]. Wszystkich fragmentów jest r
  •     \[\M{W}_i = \begin{bmatrix} & & &  \\ \M{W}_{i,1} & \M{W}_{i,2} & \ldots & \M{W}_{i,d_1} \\ & & &  \\ \end{bmatrix}\]

Wyliczanie wektorów dołączonych dla \M{W}_i

  • Z ogólnego wektora własnego \M{v}_i wyznaczamy wektor dołączony 2 rzędu
  • Następnie powtarzamy tyle razy, aby uzyskać wektor dołączony rzędu takiego jaki jest stopień największej klatki, czyli m.

    \[\hspace{-0.5cm}\begin{matrix} 1) \quad       & \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right) \M{v}_i=\M{0}                         & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{}     \M{v}_i=\M{0}                                                                        \\ % & \qquad                                                                    \\ 2) \quad       & \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right) \M{u}_i^{2}=\M{v}_i                   & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{2}     \M{u}_i^{2}=\M{0}   \\ % & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{s_m-1} \M{u}_i^{s_m}=\M{v}_i  \\ 3) \quad       & \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right) \M{u}_i^{3}=\M{u}_i^{2}               & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{3} \M{u}_i^{3}=\M{0} \\ % & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{s_m-2} \M{u}_i^{s_m-1}=\M{v}_i  \\ 4) \quad       & \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right) \M{u}_i^{4}=\M{u}_i^{3}               & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{4} \M{u}_i^{4}=\M{0} \\ % & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{s_m-3} \M{u}_i^{s_m-2}=\M{v}_i  \\ \vdots \quad   & \vdots 													                & \qquad \vdots                                                             \\ % & \qquad \vdots                                                              \\ m) \quad   & \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right) \M{u}_{i}^{m}=\M{u}_{i}^{m-1}         & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{m}     \M{u}_i^{m}=\M{0}                                                           % & \qquad \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{1}     \M{u}_i^{2}=\M{v}_i   \end{matrix}\]

Pamiętaj jednak, że

  • Proszę jednak pamiętaj, że nie dla dowolnego wektora własnego istnieją wektory dołączone.
  • Musimy nie jako wyznaczać te wektory uogólnione od najwyższego rzędu i potem schodzić niżej, tak jak miało to miejsce w naszych przykładach

\left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{1}, \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{2}, \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{3}, \ldots, \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{m}

  • Te potęgi już policzyliśmy przy obliczaniu d_1, d_2, \ldots , d_{m}, bo przypomnijmy, że
  • <

    • d_1 = n-\rank (\M{A}-\lambda_i\M{I})
    • d_2 = n-\rank \left( (\M{A}-\lambda_i\M{I})^2\right)
    • \vdots
  • Wyznaczamy blok wektorów dołączonych dla klatek stopnia m.

Znajdowanie wektorów dołączonych

  • Zaczynając od wektora dołączonego \M{u}_i^{m} łatwo go znajdziemy, bo jest dowolnym wektor z jądra \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)^{m}
  • Potem przemnażając przez \left( \M{A}-\lambda_i \M{I} \right)\cdot \M{u}_i^{m} = \M{u}_i^{m-1}
  • Powtarzając uzyskamy ciąg aż do wektora własnego.
  • Następnie te pojawiające się kolejne wektory układamy w odwrotnej kolejności blok, czyli w macierz o wymiarach [n\times m]
  •     \[\begin{bmatrix} v_i & \M{u}_i^{2} & \M{u}_i^{3} & \ldots & \M{u}_i^{m} \end{bmatrix}\]

Blok wektorów dla macierzy przejścia

  • Wyznaczyliśmy blok wektorów, dla macierz o wymiarach [n\times m], dla klatki stopnia m=s_	1.
  •     \[\M{W}_{i,1}=\begin{bmatrix} \M{v}_{i,1} & \M{u}_{i,1}^{2} & \M{u}_{i,1}^{3} & \ldots & \M{u}_{i,1}^{m} \end{bmatrix}\]

  • Następnie w podobny sposób bloki wektorów dla kolejnej klatki stopnia s_2,s_3, \ldots, s_{d_1}.
  •     \[\M{W}_{i,2}=\begin{bmatrix} \M{v}_{i,2} & \M{u}_{i,2}^{2} & \M{u}_{i,2}^{3} & \ldots & \M{u}_{i,2}^{s_2} \end{bmatrix}\]

  • itd.
  •     \[\M{W}_{i,d_1}=\begin{bmatrix} \M{v}_{i,d_1} & \M{u}_{i,d_1}^{2} & \M{u}_{i,d_1}^{3} & \ldots & \M{u}_{i,d_1}^{s_3} \end{bmatrix}\]

… Ale UWAGA

    \[\M{W}_{i,1}=\begin{bmatrix} \M{v}_{i,1} & \M{u}_{i,1}^{2} & \M{u}_{i,1}^{3} & \ldots & \M{u}_{i,1}^{m} \end{bmatrix}\]

    \[\M{W}_{i,2}=\begin{bmatrix} \M{v}_{i,2} & \M{u}_{i,2}^{2} & \M{u}_{i,2}^{3} & \ldots & \M{u}_{i,2}^{s_2} \end{bmatrix}\]

    \[\M{W}_{i,d_1}=\begin{bmatrix} \M{v}_{i,d_1} & \M{u}_{i,d_1}^{2} & \M{u}_{i,d_1}^{3} & \ldots & \M{u}_{i,d_1}^{s_{d_1}} \end{bmatrix}\]

  • Załóżmy, że masz już \M{W}_{i,1}. To teraz musisz uważać przy wyborze
  • \M{u}_{i,{\R{2}}}^{s_2} gdyż musi być nie zależny liniowo z \M{u}_{i,{\R{1}}}^{s_2}.

  • Dopiero wówczas możesz wyznaczać kolejne, tzn. \M{u}_{i,2}^{s_2-1}, następnie \M{u}_{i,2}^{s_2-2} itd. aż do \M{v}_{i,2}, w efekcie masz \M{W}_{i,2}
  • Podobnie przy wyborze \M{u}_{i,{\R{3}}}^{s_{\R{3}}} musisz uważać aby nie był liniowo zależny z \M{u}_{i,{\R{2}}}^{s_{\R{3}}} oraz z \M{u}_{i,{\R{1}}}^{s_{\R{3}}}

Wszystkie wektory dla \lambda_i

  • Po uzyskaniu wszystkich macierzy składamy ją w większą, tak jak było wspomniane wcześniej
  •     \[\M{W}_i = \begin{bmatrix} & & &  \\ \M{W}_{i,1} & \M{W}_{i,2} & \ldots & \M{W}_{i,d_1} \\ & & &  \\ \end{bmatrix}\]

  • Jest to blok wszystkich wektorów dla wszystkich wektorów własnych dla \lambda_i
  • Potem całą procedurę wykonujemy dla kolejnej wartości własnej \lambda_{i+1}

Gdy przeszliśmy już po wszystkich indeksach i

  • Jak zrobimy dla wszystkich to składamy wszystko w całość
  •     \[\M{A} = \M{W} \M{J} \M{W}^{-1},\]

        \[\M{J}= \begin{bmatrix} \M{J}_1 & \M{0}   & \M{0}   & \M{0}    \\ \M{0}   & \M{J}_2 & \M{0}   & \M{0}    \\ \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots   \\  \M{0}   & \M{0}   & \ldots  & \M{J}_{\R{r}}    \end{bmatrix} \quad  \M{W}= \begin{bmatrix} \M{W}_1 & \M{W}_2   & \ldots  & \M{W}_{\R{r}}  \end{bmatrix}\]

        \[\M{J} = \begin{bmatrix} \M{K}_1 & \M{0} & \cdots & \M{0} \\ \M{0}         & \M{K}_2 & \cdots & \M{0} \\ \vdots         & \vdots & \ddots & \vdots \\ \M{0}         & \M{0} & \cdots & \M{K}_{\R{q}} \\ \end{bmatrix} \qquad  \M{K}_{\R{i}} = \begin{bmatrix} \lambda_{\R{i}} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{\R{i}} & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0  & \lambda_{\R{i}} & \cdots & 0 \\ \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{\R{i}} \\ \end{bmatrix},\]

Twierdzenie
Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tego samego przekształcenia są liniowo niezależne.

Definicja Wektor dołączony
Definicja

  • Wektor \M{u}^p nazywamy wektorem dołączonym rzędu p macierz \M{A} dla wartości własnej \lambda Jeśli
  •     \[(\M{A} -\lambda \M{I} )^p \M{u}^{p}=0 \qquad \wedge \qquad (\M{A} -\lambda \M{I} )^{p-1} \M{u}^{p} \neq 0\]

Macierz diagonalizowalna – pełna odpowiedź
Warunek K-W diagonalizowalności
Jeżeli \lambda_1, \ldots \lambda_r są różnymi wartościami własnymi. Ponadto krotność algebraiczna każdej \lambda_i jest równa jej krotności geometrycznej, czyli

    \[k_i = \dim \ker (\M{A}-\lambda_i\M{I}),\]

to wtedy i tylko wtedy macierz jest diagonalizowalna.

Uwaga inne konwencje

  • Niektórzy klatki Jordana definiują jako macierz, która na przekątnej ma wartość własną, a jedynki pod przekątną, a nie jak do tej pory nad przekątną.
  • Jest równoważny zapis, lecz rzadziej spotykany.
  • Należy wówczas pamiętać, iż wektory dołączone układamy w odwrotnej kolejności, niż tak jak robiliśmy przez cały ten film w kolumnach, macierzy przejścia, dla danej klatki Jordana.

Łatwe potęgowanie

  • Obserwacja
  •     \[\M{A}^3=\left( \M{W}\M{J}\M{W}^{1} \right)^3 = \left( \M{W}\M{J}\M{W}^{1} \right)\cdot \left( \M{W}\M{J}\M{W}^{1} \right)\cdot \left( \M{W}\M{J}\M{W}^{1} \right) =\]

        \[=\M{W}\M{J} \underbrace{\M{W}^{1}\M{W}}_{\M{I}} \M{J}\underbrace{\M{W}^{1}\M{W}}_{\M{I}}\M{J}\M{W}^{1}=\M{W}\M{J}^3\M{W}^{-1}\]

  • Wniosek
  •     \[\M{A}^n=\left( \M{W}\M{J}\M{W}^{1} \right)^n = \M{W}\M{J}^n\M{W}^{-1}\]

  • Może jest jeszcze łatwy sposób na obliczanie potęg macierzy \M{J}?

Twierdzenie potęgowanie macierzy Jordana

  • Okazuje się, że zachodzi:
  •     \[\M{J}^{\R{n}} =\left( \begin{bmatrix} \M{K}_1 & \M{0} & \cdots & \M{0} \\ \M{0}         & \M{K}_2 & \cdots & \M{0} \\ \vdots         & \vdots & \ddots & \vdots \\ \M{0}         & \M{0} & \cdots & \M{K}_q \\ \end{bmatrix} \right)^{\R{n}} =  \begin{bmatrix} \M{K}_1^{\R{n}} & \M{0} & \cdots & \M{0} \\ \M{0}         & \M{K}_2^{\R{n}} & \cdots & \M{0} \\ \vdots         & \vdots & \ddots & \vdots \\ \M{0}         & \M{0} & \cdots & \M{K}_q^{\R{n}} \\ \end{bmatrix}\]

  • Zastanówmy się zatem czym jest potęga klatki Jordana

Potęgowanie klatek Jordana

  • Potęgując klatki Jordana stopnia 2, szybko zaobserwujemy powtarzający się wzorzec
  •     \[\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} a^2 & 2a \\ 0 & a^2 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix} a^3 & 3a \\ 0 & a^3 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^4 = \begin{bmatrix} a^4 & 4a \\ 0 & a^4 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} a^n & 4n \\ 0 & a^n \end{bmatrix}\]

Potęgowanie klatek Jordana

  • Klatka stopnia 3
  •     \[\begin{bmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}^2 =  \begin{bmatrix} a^2 & 2a & 1 \\ 0 & a^2 & 2a \\ 0 & 0 & a^2 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{bmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}^3 =  \begin{bmatrix} a^3 & 3a & 3a \\ 0 & a^3 & 3a \\ 0 & 0 & a^3 \end{bmatrix}\]

        \[\begin{bmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}^n =  \begin{bmatrix} a^n & na^{n-1} & \frac{n(n-1)a^{n-2}}{2} \\ 0 & a^n & na^{n-1} \\ 0 & 0 & a^n \end{bmatrix}\]

Potęgowanie klatek Jordana

  • Klatka stopnia k
  •     \[\begin{bmatrix} a      & 1      & 0      & \ldots & 0      \\ 0      & a      & 1      & \ldots & 0      \\ 0      & 0      & a      & \ldots & 0      \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0      & 0      & 0      & \ldots & a      \\ \end{bmatrix}^n =  \begin{bmatrix} a^n    & (a^n)' &  \frac{(a^n)''}{2!} & \ldots & \frac{(a^n)^{(k)}}{k!}   \\ 0      & a^n    & (a^n)'              & \ldots & \frac{(a^n)^{(k-1)}}{(k-1)!}   \\ 0      & 0      &  a^n                & \ldots & \frac{(a^n)^{(k-2)}}{(k-2)!}   \\ \vdots & \vdots & \vdots              & \ddots & \vdots   \\ 0      & 0      & 0                   & \ldots & a^n \\ \end{bmatrix}\]

  • Mamy przepis na łatwe potęgowanie do dowolnej potęgi dowolnej macierzy, o ile dysponujemy rozkładem Jordana, tej macierzy
  •     \[A^{\R{n}}=\M{W} \begin{bmatrix} \M{K}_1^{\R{n}} & \M{0} & \cdots & \M{0} \\ \M{0}         & \M{K}_2^{\R{n}} & \cdots & \M{0} \\ \vdots         & \vdots & \ddots & \vdots \\ \M{0}         & \M{0} & \cdots & \M{K}_q^{\R{n}} \\ \end{bmatrix} \M{W}^{-1}\]

        \[\begin{bmatrix} a      & 1      & 0      & \ldots & 0      \\ 0      & a      & 1      & \ldots & 0      \\ 0      & 0      & a      & \ldots & 0      \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0      & 0      & 0      & \ldots & a      \\ \end{bmatrix}^n =  \begin{bmatrix} a^n    & (a^n)' &  \frac{(a^n)''}{2!} & \ldots & \frac{(a^n)^{(k)}}{k!}   \\ 0      & a^n    & (a^n)'              & \ldots & \frac{(a^n)^{(k-1)}}{(k-1)!}   \\ 0      & 0      &  a^n                & \ldots & \frac{(a^n)^{(k-2)}}{(k-2)!}   \\ \vdots & \vdots & \vdots              & \ddots & \vdots   \\ 0      & 0      & 0                   & \ldots & a^n \\ \end{bmatrix}\]

Kolejne kroki dalej

  • Skoro możemy łatwo potęgować, to w zasadzie możemy obliczyć dowolny wielomian od dowolnej macierzy
  • W takim razie jesteśmy w stanie zdefiniować także dowolną funkcję od macierzy, o ile ta funkcja jest rozwijalna we szereg Taylora.
  • W rozwinięciu Taylora jest tylko potęgowanie macierzy, ich skalowanie przez liczb i ich dodawanie.
  • Co więcej okazuje się że dla dowolnej funkcji f rozwijalnej w szereg Taylora mamy:
  •     \[f(\M{A}) = \M{W}f(\M{J})\M{W}^-1\]

Źródła

Be Sociable, Share!

Comments

comments

One thought on “11 Przykładów Rozkładu Macierzy Na Postać Jordana [wideo]

  1. Mikołaj Kuziuk

    Bardzo ciekawy artykuł. Niesamowite, że potrafi się Pan aż tak zaangażować. Więcej piszę o tym na YouTube.

    Ten fragment był śmieszny:
    „Przy czym wcale \textbf{nie} jest powiedziane” 😀

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.