Suma kolejnych kwadratów (Sum of consecutive squares)

Mam nadzieje, że znasz symbol sumy \sum, jeśli nie to podajmy ze 3 przykłady i już wszystko będzie jasne.

    \[\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+4+\ldots+n\]

    \[\sum_{k=1}^{n}1=\underbrace{1+1+1+1+\ldots+1}_{n\mbox{ jedynek}}\]

    \[\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2\]

Zamiast pisać długie tasiemce z kropkami krócej jest używać znaku sumy \sum_{k=1}^{n}.
Teraz do rzeczy weźmy sobie \sum_{k=1}^{n}k^2 i rozpiszmy:

    \[\Z{\sum_{k=1}^{n}k^2} = 1+\sum_{k=2}^{n}k^2 = 1+\Y{\sum_{k=1}^{\R{n-1}}(k+1)^2} = 1+\Y{\sum_{k=1}^{\R{n}}(k+1)^2-(n+1)^2}=\]

    \[=1-(n+1)^2+\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k+1)=1-(n+1)^2+\sum_{k=1}^{n}k^2+2\sum_{k=1}^{n}k+\B{\sum_{k=1}^{n}1}=\]

    \[=1-n^2-2n-1+\sum_{k=1}^{n}k^2+2\sum_{k=1}^{n}k+\B{n} = -n^2-n+2\sum_{k=1}^{n}k + \Z{\sum_{k=1}^{n}k^2}\]

Teraz mamy przecież że

    \[\Z{\sum_{k=1}^{n}k^2}=\Z{\sum_{k=1}^{n}k^2}-n^2-n+2\sum_{k=1}^{n}k\]

A stąd

    \[\Z{0}=2\sum_{k=1}^{n}k-n^2-n\]

przenosząc na drugą stronę wyłączając n przed nawias i dzieląc obustronnie przez 2 otrzymujemy znany wzór na sumę ciągu arytmetycznego. :-)

    \[\boxed{\R{\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n+1}{2}\cdot n}}\]

No dobrze to skoro wychodząc od \sum_{k=1}^{n}k^2 dostaliśmy wzór na \sum_{k=1}^{n}k to może wychodząc od \sum_{k=1}^{n}k^3 dostaniemy wzór na \sum_{k=1}^{n}k^2, który nie jest już sumą ani ciągu arytmetycznego, ani geometrycznego. Zobaczmy co wyjdzie postąpmy analogicznie.

    \[\Z{\sum_{k=1}^{n}k^3} = 1+\sum_{k=2}^{n} k^3=1+\Y{\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)^3}=1+\Y{\sum_{k=1}^{n}(k+1)^3-(n+1)^3}=\]

    \[=1-(n+1)^3 +\sum_{k=1}^{n}(k^3+3k^2+3k+1)=1-(n+1)^3+\Z{\sum_{k=1}^{n}k^3}+3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\BR{\sum_{k=1}^{n}k}+\B{\sum_{k=1}^{n}1}\]

Postępując analogicznie, czyli skracając \sum_{k=1}^{n}k^3 i podstawiając wzór na sumę ciągu arytmetycznego uzyskujemy równanie”

    \[\Z{0}=1-(n+1)^3+3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\BR{\frac{n^2+n}{2}}+\B{n}\]

    \[0=1\Y{-n^3-3n^2-3n}-1+3\sum_{k=1}^{n}k^2+\Z{3\frac{n^2+n}{2}+n}\]

    \[6\sum_{k=1}^{n}k^2=\Y{2n^3+6n^2+6n}\Z{-3n^2-3n-2n}\]

    \[6\sum_{k=1}^{n}k^2=2n^3+3n^2+n\]

Możemy zatem zapisać wzór

    \[\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}=\frac{2n(n+1)(n+\frac{1}{2})}{6}\]

Mamy nasz wzór:

    \[\boxed{\R{\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}\]

Pytanie czy w podobny sposób można uzyskać wzór na \sum_{k=1}^n k^3 ?