Historia Iloczynu Skalarnego i Iloczynu Wektorowego

Czy można pomnożyć dwa wektory ze sobą? Co to w ogóle znaczy pomnożyć dwa wektory?
Co powinno być w wyniku liczba, wektor czy może coś jeszcze innego?
Oczywiście pytanie w pierwszej chwili może wydawać się dziwne. Wszelkie prostsze pojęcia miały dosyć mocne przesłanie intuicyjne. Dosyć oczywiste jest co to znaczy dodać dwa wektory, co to znaczy przemnożyć wektor przez liczbę, ale pomnożyć dwa wektory przez siebie. Pojęcie iloczynu wektorów jest rozpatrywane, z tym, że pod taką nazwą nie funkcjonuje.

Występują dwa główne użyteczne pojęcia iloczynu wektorów.
Iloczyn skalarny

    \[\vec{a} \circ \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\]

    \[\vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha \qquad \qquad \mbox{dla }\ \alpha\in[0,180\st]\]

Iloczyn wektorowy.

    \[\vec{a} \times \vec{b} = \nawiask{\begin{vmatrix} y_a & z_a \\ y_b & z_b \end{vmatrix}, {\R{-}}\begin{vmatrix} x_a & z_a \\ x_b & z_b \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x_a & y_a \\ x_b & y_b \end{vmatrix}  }\]

    \[|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \alpha   \qquad \qquad \mbox{dla }\ \alpha\in[0,180\st]\]

Przytomnie jest zapytać skąd te wzory się wzięły i dlaczego są takie, a nie inne?
Spójrzmy na historię powstania tych pojęć.

Nie wiem jak Ty, ale ja pierwszy raz dowiedziałem się o iloczynie skalarnym w szkole średniej i to na fizyce, bo w programie matematyki tego nie ma przez całą szkołę średnią.
Ponadto te pojęcia od początku mi się bardzo nie podobały, były nieintuicyjne.

Przejdźmy jednak do historii. Z tego co mi wiadomo, to historycznie kwaterniony były przed wektorami, przed kwaternionami były liczby zespolone.
Niech będą dwa urojone kwaterniony.

    \[p=x_1\ii+y_1\jj+z_1\kk, \qquad \qquad  q=x_2\ii+y_2\jj+z_2\kk\]

Część rzeczywista iloczynu
\overline{p}q=(-x_1\ii-y_1\jj-z_1\kk)(x_2\ii+y_2\jj+z_2\kk) jest równa x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
To jest to co dziś nazwalibyśmy iloczynem skalarnym wektorów

    \[[x_1,y_1,z_1]\circ [x_2,y_2,z_2] = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\]

No dobrze, ale jaki to ma związek z kątem, który występuje w „drugim” wzorze na iloczyn skalarny.

W liczbach zespolonych część rzeczywista \overline{z}_1z_2 to |z_1||z_2|\cos \theta,
gdzie kąt \theta okaże się kątem pomiędzy tym liczbami zespolonym (na płaszczyźnie zespolonej)

Prześledźmy to bliżej
Mamy dwie liczby zespolone z_1 = x_1 + y_1\ii \quad z_2 = x_2 + y_2\ii

    \[\overline{z}_1z_2 = (x_1 - y_1\ii )(x_2 + y_2\ii) = (x_1x_2 + y_1y_2 + (x_1y_2-y_1x_2)\ii)\]

    \[\re (\overline{z}_1z_2) = x_1x_2 + y_1y_2\]

Z drugiej strony patrząc

    \[z_1 = |z_1|(\cos \alpha_1 + \ii \sin \alpha_1 ) \qquad  z_2 = |z_2|(\cos \alpha_2 + \ii \sin \alpha_2 )\]

Iloczyn to

    \[\overline{z}_1z_2 =  |z_1||z_2|\nawiaso{ \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 + \ii \cos \alpha_1 \sin \alpha_2 - \ii \sin \alpha_1 \cos \alpha_2 + \sin \alpha_1 \sin \alpha_2 }\]

    \[\re \overline{z}_1z_2 = |z_1||z_2|\cos(\alpha_1 - \alpha_2) = |z_1||z_2|\cos(\alpha_2 - \alpha_1)\]

Kąt pomiędzy z_1, oraz z_2 na płaszczyźnie zespolonej to |\alpha_1 -\alpha_2| = \theta

Liczby zespolonych możemy używać do przekształceń na płaszczyźnie.
Hamilton twórca kwaternionów pragnął znaleźć odpowiednik dla przestrzeni trójwymiarowej, w efekcie czego znalazł kwaterniony.
Poprzez analogię cześć rzeczywista \overline{p}q powinna być (i jest)

    \[|p||q|\cos \theta\]

Gdzie \theta będzie kątem pomiędzy p i q
Nie ma znaczenia miejsce od, którego zaczynam mierzyć kąt, który przypisujemy danemu kwaternionowi, podobnie jak w zespolonych liczbach.

Okazuje się, że podobnie iloczyn wektorowy jest częścią urojoną iloczynu kwaternionów czysto urojonych

    \[\overline{p}q=(-x_1\ii-y_1\jj-z_1\kk)(x_2\ii+y_2\jj+z_2\kk)\]

\nawiask{\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}  }

Skąd mamy obecny iloczyn wektorowy [x_1,y_1,z_1]\times[x_2,y_2,z_2]=\nawiask{\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}  }

Chronologicznie

1773 włoski matematyk Joseph Louis Lagrange zauważył tożsamość, która łączyła w sobie iloczyn wektorowy z iloczynem skalarnym. Uzyskał ją w wyniku badania czworościanu

    \[(\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{a} = \vec{b}\circ (\vec{a}\circ \vec{a}) - \vec{a} \circ (\vec{a} \circ \vec{b})\]

1843 William Rowan Hamilton wprowadził kwaterniony
James Clerk Maxwell użył kwaternionów Hamiltona do odkrycia słych równań
elektromagnetycznych dynamiki. Kwaterniony stały się istotną częścią edukacji fizyki
1878 William Kingdon Clifford opublikował „Elements of Dynamic”, była to trudna praca na tamte czasy. Zdefiniował iloczyn dwóch wektorów jako pole równoległoboku rozpiętego przez wektory, z uwzględnieniem dwóch stron tej powierzchni i kierunkiem prostopadłym do tej powierzchni.
Oliver Heaviside oraz Josiah Willard Gibbs także czuli, że metoda kwaternionów była zbyt niewygodna, często wymagane było wyodrębnienie części skalarnej i wektorowej
\sim 40 lat od kwaternionów wyodrębniono z nich iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy znany dziś. To pozwoliło Heaviside’owi uprościć równania Maxwella z 20 do 4 równań znanych dzisiaj

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.