Krzywizna Krzywej (Curvature)

1. Spojrzenie intuicyjne

Co to w ogóle jest ?
Mówiąc najprościej. Jest to parametr \kappa opisujący wielkość skrzywienia krzywej.

Wychodząc od intuicyjnego spojrzenia na zagadnienie. Weźmy sobie okrąg o promieniu r. Okrąg jest wszędzie jednakowo zakrzywiony, czyli w każdym punkcie okręgu |\kappa| =\frac{1}{r}.
Dlaczego pojawia się tu jeszcze wartość bezwzględna? Wyjaśnię to za chwilę. Chodzi o to, że znak krzywizny krzywej o czymś mówi, ale do tego dojdziemy.

Jednocześnie domyślamy się, że prosta będzie miała krzywiznę krzywej równą 0, bo nie jest ani trochę skrzywiona jest w końcu prostą.

funkcja liniowa

Okej mamy główny zarys, wiadomo z grubsza o co chodzi, więc jedziemy dalej.

2. Chwilowy promień obrotu ( promień krzywizny)
Będzie nam potrzebne pojęcie chwilowego promienia krzywej w punkcie.
Załóżmy, że mamy krzywą. Dla różnych jej punktów mam różne chwilowe promienie obrotu.

Oczywiście jak się słusznie domyślasz, promień w danym punkcie krzywej jest do niej prostopadły.
Natomiast to jak jest on długi określa się właśnie z krzywizny krzywej  r = \frac{1}{|\kappa|}.
Punkt, w którym jest osadzony ten chwilowy promień, nazywa się chwilowym środkiem obrotu lub inaczej środek krzywizny. Kółeczkami zaznaczyłem te chwilowe środki obrotów.
Do tego jak się to wylicza też jeszcze dojdziemy.

Weźmy inny przykład
Weźmy sobie dobrze znaną funkcję f(x)=x^2
Tutaj już krzywizna nie jest stała, tylko się zmienia. Im większa jej wartość tym bardziej jest zakrzywiona krzywa w danym miejscu. Natomiast im mniejsza tym bardziej jest prosta (większy promień).

Tak przy okazji krzywa powstała ze środków chwilowego obrotu to ewoluta. Zaznaczyłem ją czerwoną przerywaną linią.

3. To o czym mówi znak krzywizny krzywej ?

Mamy pół okrąg opisany krzywą y=\sqrt{r^2-x^2}
Opis krzywej jest postaci y=f(x)
zmienną niezależną jest x bo nie zależy od niczego.
a zmienną zależną jest y bo zależny od wartości x.

zasada jest taka jeżeli przy wzroście zmiennej niezależnej ( w tym wypadku x), krzywa zakręca w prawo to krzywizna krzywej jest ujemna  \kappa <0
( tzn, ze gdybyś kierował pojazdem, który przemieszcza się po krzywej tak jak nakazuje to wzrost zmiennej niezależnej i musiał skręcać w prawo tym pojazdem to krzywizna była by ujemna.) Poniższy rysunek to przedstawia.

Analogicznie dla drugiej połówki okręgu y = -\sqrt{r^2-x^2} tu krzywizna krzywej będzie dodatnia \kappa >0 . Ponieważ wraz ze wzrostem argumentu x pojazd zakręca w lewo.

UWAGA ale jak byśmy wzięli okrąg opisany w ten sposób
x(\varphi )=r \cos \varphi
 y(\varphi)=r \sin \varphi
zmienną niezależną jest \varphi
a zmiennymi zależnymi x(\varphi ), y(\varphi ) , bo zależą od \varphi
Wtedy przy wzroście parametru \varphi samochód cały czas zakręcał był w lewo i krzywizna krzywej na całym okręgu była by dodatnia.

Dla elipsy opisanej przez
x(\varphi )=r \cos \varphi
 y(\varphi)=-0,6\cdot r \sin \varphi
krzywizna krzywej cały czas jest ujemna.
ewoluta elipsy
Nim przejdziemy do obliczeń, zobacz tu masz animację dla funkcji sinus

A tutaj dla pewnej krzywej Beziera stopnia 4.
Mateusz Kowalski, KowalskiMateusz.pl

4. Dobra to teraz jak to się liczy
Formalna definicja jest taka: „Krzywizna krzywej jest to granica stosunku zmiany kąta utworzonego między dwoma stycznymi na końcach łuku do długości tego łuku, gdy ta długość dąży do zera”

     \begin{displaymath}  \kappa = \lim\limits_{\Delta S \to 0 }\frac{\Delta \varphi }{\Delta S} \end{displaymath}

Ale mówiąc po ludzku.
Masz tu animację prezentującą definicję. Na przykładzie wyznaczenia krzywizny krzywej funkcji f(x)=\sqrt{x} dla argumentu x=0,05

Piękna animacja nieprawdaż, ale teraz troch więcej szczegółów. Obejrzyj bardzo dokładnie następny rysunek.

[Kliknij na obrazek, aby powiększyć]
Czarna pogrubiona linia to rozpatrywana krzywa. Rozpatrywany jest łuk AB. Styczne do krzywej zaznaczone są kolorem niebieskim. Odpowiednio w punkcie A i W punkcie B. Interesuje nas kąt pomiędzy stycznymi. Lecz pojawia się pytanie który kąt i w jaką stronę skierowany? Załużmy, wstępnie, iż jest to krzywa opisana przez f(x), oczywiście że wraz ze wzrostem zmiennej x pierwszy jest punkt A na łuku, a następny jest punkt B. Zatem interesuje nas kąt związany z przekręceniem pierwszej stycznej w punkcie A do stycznej w punkcie B. Odpowiada temu kąt skierowany \beta - \alpha.

Teraz odwrotnie zakładając, że krzywa jest opisana w jakiś parametryczny sposób tak , że wraz ze wzrostem parametru t pierwszy jest punkt B, a potem punkt A wtedy oczywiście bierzmy kąt przeciwny, czyli \alpha - \beta.

Okej wiadomo czym jest \Delta \varphi . co do długości łuku AB to nie ma problemu bo jest zawsze dodatni, czyli \Delta S = |AB|. Teraz interesuje nas stosunek \frac{\Delta \varphi}{\Delta S}. Ale taki gdzie \Delta S dąży do 0. Bardzo ważne dąży, anie jest równy 0. Tak by ta definicja wyglądała.

Wychodząc z tej definicji można wyprowadzić poniższe wzory.
Wzór dla krzywej opisanej przez f(x) jest taki:

     \begin{displaymath} \kappa = \frac{f^{\prime \prime} (x)}{ (1+f^{\prime}(x)^2 )^{\frac{3}{2}}} \end{displaymath}

Nawiązując jeszcze do znaku krzywizny. Zwróć uwagę, że mianownik jest zawsze dodatni. Stąd wniosek krzywizna ma taki sam znak co druga pochodna. A druga pochodna jak pamiętasz mówi o tym czy funkcja jest wklęsła f^{\prime \prime}(x)>0 czy wypukłaf^{\prime \prime}(x)<0.

Wzór dla krzywej opisanej para metrycznie x(t), y(t) jest taki:

     \begin{displaymath} \kappa = \frac{y^{\prime \prime} (t)x^{\prime}(t) - x^{\prime \prime} (t)y^{\prime}(t)}{ (x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2 )^{\frac{3}{2}}} \end{displaymath}

Oczywiście jak przyjmiemy x(t)=t a za y(t)=f(t) to sytuacja sprowadzi się do pierwszego wzoru. To może nie jest nic odkrywczego, ale warto zdawać sobie z tego sprawę.
_________________________________________________________
Jeśli chodzi o wzór na środek krzywizny S(p,q) dla danego punktu krzywej P(x_0,f(x_0)).
Kiedy krzywa opisana jest wzorem y=f(x).
 p = x_0 -  f^{\prime}(x_0) \frac{1+f^{\prime}(x_0)^2}{f^{\prime \prime}(x_0)}

 q = f(x_0) +  \frac{1+f^{\prime}(x_0)^2}{f^{\prime \prime}(x_0)}
Dla krzywej opisanej
x=x(t)
y=y(t)
środek krzywizny S(p,q) dla danego punktu krzywej P(x(t_0),y(t_0)).
dany jest wzorem
 p = x(t_0) - y^{\prime}(t_0) \frac{x^{\prime} (t_0)^2 + y^{\prime}(t_0)^2}{y^{\prime \prime}(t_0)\cdot x^{\prime}(t_0) - x^{\prime \prime}(t_0)\cdot y^{\prime}(t_0)}

 q = y(t_0) + x^{\prime}(t_0) \frac{x^{\prime} (t_0)^2 + y^{\prime}(t_0)^2}{y^{\prime \prime}(t_0)\cdot x^{\prime}(t_0) - x^{\prime \prime}(t_0)\cdot y^{\prime}(t_0)}

Tu znowu podobnie jak podstawiamy x(t)=t a za y(t)=f(t) to sytuacja sprowadzi się do poprzedniej.
_____________________________________________________________

Przykład 1.
Policzmy krzywiznę tej funkcji f(x)=\sin^2(x).
f^{\prime }(x) = 2\cos x \sin x

f^{\prime \prime}(x) = 2\cos^2 x - 2 \sin^2 x

1+f^{\prime }(x)^2 = 4\cos^2 x \sin^2 x +1

 \kappa = \frac{f^{\prime \prime}(x) }{(1+f^{\prime }(x)^2)^\frac{3}{2}}=\frac{2\cos^2 x - 2 \sin^2 x}{(4\cos^2 x \sin^2 x +1)^{\frac{3}{2}}}

Przykład 2.
Weźmy sobie z animacji powyżej krzywa Bezier’a, która dana jest wzorem. Jaka jest krzywizna tej krzywej?
x(t) =  - 22t^4 + 60t^3 - 42t^2 + 4t + 2

y(t) = 11t^4 - 24t^2 + 12t

t \in [0,1]

\kappa = \frac{\left(44\, t^3 - 48\, t + 12\right)\, \left(264\, t^2 - 360\, t + 84\right) - \left(132\, t^2 - 48\right)\, \left(88\, t^3 - 180\, t^2 + 84\, t - 4\right)}{{\left({\left(44\, t^3 - 48\, t + 12\right)}^2 + {\left(88\, t^3 - 180\, t^2 + 84\, t - 4\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}

Więcej znajdziesz w książkach pod działem geometria różniczkowa.

Be Sociable, Share!

Comments

comments

4 thoughts on “Krzywizna Krzywej (Curvature)

  1. Fajnie wyjaśniasz.

    Mam dwie uwagi do fragmentu w okolicy wzoru na krzywiznę:
    1) może warto by dodać szkic dojścia do tego wzoru,
    2) krzywa może być wypukła, mimo że f”(x)=0 (tak jest np. dla funkcji f(x)=x^4 w punkcie x=0; wykres tej funkcji w okolicy tego punktu jakby „rozprostowuje się”, krzywizna zbliża się do zera i osiąga zero, gdy x=0).

    Jeszcze lepiej i płynniej by się czytało te wszystkie ciekawe wyjaśnienia, gdybyś zadbał trochę o interpunkcję. Jasne, że w mowie nie ma żadnych przecinków, myślników, itp., ale przecież nie mówimy zupełnie monotonnie i martwo, jeśli chcemy, aby nas rozumiano; zmieniamy tempo, zawieszamy głos, itp. Wg mnie interpunkcja jest właśnie po to, aby tego rodzaju dodatkowe zabiegi jakoś zasygnalizować w tekście. Staje się ona wtedy środkiem sprawniejszego przekazywania myśli.

    Pozdrawiam!

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.