01 Podstawy Podstaw – Obliczenia procentowe

Ostatnio był film bardzo trudny o rozkładzie Jordana macierzy, to dziś bardzo podstawowy, z podstaw podstaw. Poruszę dziś temat, na poziomie szkoły podstawowej maksymalnie gimnazjum. Chodzi dokładnie o procenty.

procent z liczby, jaki stanowi procent

Zauważyłem, iż dość dużo osób ma problem z takim podstawami …


W dzisiejszym świecie na każdym kroku spotkamy się z procentami.
– Paski postępu, procent wykonania, procent naładowania baterii
– oprocentowanie lokaty, kredytu,
– obniżki i podwyżki cen, marże, prowizje, podatki, zwrot z inwestycji,
– zawartość tłuszczu w mleku, stężenie roztworów, zawartość mięsa w mięsie
– wilgotność powietrza, alkomaty, próby jubilerskie
– diagramy kołowe, słupkowe

Cała idea sprowadza się do jednego stwierdzenia, iż pewną całość oznaczmy przez 100 procent.
Przy czym tę całością niekoniecznie musi 1. Może to być np. pakiet 6 piw, czy np. 20 drzew.

Przykładowo:
1 procent baku paliwa to inaczej \frac{1}{100} tego baku
1 procent chleba to inaczej \frac{1}{100} tego chleba

Dokładnie tak samo na samych liczbach
1 \% to \frac{1}{100} = 0,01
100 \% to 1
30 \% to \frac{30}{100}= 0.3
0,5 \% to \frac{0,5}{100}= 0,005
300 \% to \frac{300}{100} = 3
-150 \% to \frac{-150}{100} = -1.5
p\% to \frac{p}{100}

Jak zapewne już zauważyłeś lub zauważyłaś ułamki możemy zastępować procentami, a procenty ułamkami.

Jeśli chodzi o zamianę z liczby (ułamka), na procenty to warto posłużyć się prostym wierszykiem.

„Gdy procenty chcesz utworzyć przez 100% procent musisz mnożyć”

Przykłady:
\frac{1}{4} to \frac{1}{4} \cdot 100 \% = 25 \%
1,23 to 1,23 \cdot 100 \% = 123 \%
30 to 30 \cdot 100 \% = 3000 \%

Rzecz jasna przy zmianie z procentów na liczbę dzielimy na 100 \%
np.
40\% to \frac{40 \% }{100 \%}= \frac{4}{10} = 0,4
5\% to \frac{5\%}{100\%} = \frac{1}{20}

Wyróżnić w zasadzie możemy 7 czynności z procentami

Typowe zadania z procentami to:
1. Obliczanie procentu danej liczby
2. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
3. Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent
4. O ile procenta coś się zmieniło
– wzrosło, zmalało, staniało, zdrożało, itp.
5. Mieszanie roztworów – metoda 3 kubków
6. Procent prosty (przyrost liniowy)
7. Procent składany (przyrost wykładniczy)

W tym poście skupimy się na najprostszych, pierwszych 3 typach zadań

Przykłady:
1. Obliczanie procentu danej liczby

    20 \% z butelki 0,7 litra to?

    \[20\% \cdot 0,7 = 0,2\cdot 0,7 = 0,14\]

    40 \% ze 1600 zł to?

    \[40\% \cdot 1600 = 0,4\cdot 1600 = 640\]

2. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Jakim procentem kwoty 500 zł stanowi 25 zł?

    \[\frac{25}{500}\cdot 100\%=5\%\]

    Ktoś zarabiał 2500 zł i dostał podwyżkę 100 zł ile to procent?

    \[\frac{100}{2500}\cdot 100 \% = 4\%\]

3. Obliczanie liczby gdy dany jest jej procent

    Kwota podatku VAT 23 \% wynosi 69 zł. Ile kosztuje ten towar bez podatku?

    \[\frac{23}{100}\cdot x = 69 \Rightarrow 23x = 6900 \Rightarrow x = 300\]

    W Polsce wydobywa się 0,5t złota rocznie stanowi to 0,02 \% światowej produkcji. Jakie jest światowe wydobycie?

    \[\frac{0.02}{100} x = 0,5 \Rightarrow 2x = 5000 \Rightarrow x = 2500\]

Widać już schemat teraz wypada to uogólnić i podać wzory ogólne.

1. Obliczanie procentu danej liczby
p \% z x to  \frac{p}{100} \cdot x
2. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
Jaki procent x stanowi y

    \[\frac{y}{x} \cdot 100 \%\]

3. Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent
p \% wynosi y

    \[\frac{p}{100} \cdot x =y\]

    \[x = y \cdot \frac{100}{p}\]

Czasami jest do wykonania jest jeden krok więcej

  • Franek wziął szybką pożyczkę na 2000 zł oprocentowanie wynosi 40 \%, ile będzie pieniędzy musiał oddać?
  • Będzie musiał oddać 1 całość czyli te 2000 zł plus 40 \% dodatkowo, czyli razem 1,4 całości

        \[1,4 \cdot 2000 = 2800\]

  • Pracowniczka zarabiała 3000 zł dostała podwyżkę i teraz zarabia 3600 zł. Ilu procentową podwyżkę dostała?
  • Podwyżka to 600 zł w stosunku do tego co było, czyli 3000 zł wychodzi

        \[\frac{600}{3000} \cdot 100\%\]

  • Cena biletu wzrosła o 36 \% i teraz wynosi 74,8 zł. Jaka była cena wcześniej?
  • Oznaczmy:
    x cena biletu przed podwyżką.
    nowa cena to cena początkowa czyli x i potem dodatkowo jeszcze 36 \% więc

        \[136 \% x = 74,8 \Rightarrow 1,36x = 74,8 \Rightarrow x = 55\]

    Z tego warto zdawać sobie sprawę
    Powiedzmy, że takie same spodnie kosztowały 100 zł w jednym i drugim sklepie.
    Pierwszy sklep obniżył cenę o 10 \%, a potem podniósł o 10 \%
    Drugi sklep podniósł cenę o 10 \%, a potem obniżył o 10 \%
    W którym sklepie cena spodni jest większa, w porównaniu z tą przed zmianami?
    W którym sklepie cena spodni jest wyższa po zmianach?

    W obu przypadkach cena po tych zmianach będzie mniejsza i będzie wynosić tyle samo

    0,9 \cdot 1,1 \cdot 100 = 81
    1,1 \cdot 0,9 \cdot 100 = 81

    W następnym poście zajmiemy się 4 typem zagadnień czyli o ile procent

    Be Sociable, Share!

    Comments

    comments

    Dodaj komentarz

    Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.