Reszta Lagrange’a we wzorze Taylora

Obiecywałem w poprzednich postach opowiedzieć o reszcie Lagrange’a tak też zrobię.
Zacznę od stwierdzenia, na którym zakończyłem parę wpisów wcześniej przy opisie wielomianów Taylora.
Wielomian Taylora wraz z resztą Lagrange’a daje wzór Taylora.

Kiedy rozwijamy funkcję w wielomian Taylora pewnego skończonego stopnia, powiedzmy do funkcji trzeciego stopnia, to reszta Lagrange’a będzie stopnia o 1 większym czyli 4.
Weźmy funkcję sin x i rozwińmy ją w wielomian Taylora do stopnia 3 wokół punktu x_0=0 (czyli rozwinięcie Maclaurina). Rysunek prezentuje takie rozwinięcie.


Mamy zatem funkcję f(x)=\sin(x)
Rozwijając do 3 stopnia wokół 0 mamy wzór:
f(x)\approx x-\frac{x^3}{6}
Nie zależnie do jakiego stopnia byśmy rozwijali w dalszym ciągu będziemy mieć przybliżenie.
Chcąc mieć równość musimy dodać resztę Lagrange
f(x)=x-\frac{x^3}{6}+R_4(x)
A czym jest ta reszta?
Zobacz jak powstało to rozwinięcie.
f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}x+\frac{f''(x_0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}x^3+R_4(x)

f(x)=\underbrace{\sin(x_0)}_{0}+\underbrace{\frac{\cos(x_0)}{1!}x}_{x}+\underbrace{\frac{-\sin(x_0)}{2!}x^2}_{0}+\underbrace{\frac{-\cos(x_0)}{3!}x^3}_{-\frac{x^3}{6}}+R_4(x)

W naszym przypadku to R_4(x)=\frac{\sin^{(4)}(c)}{4!}x^4
Jedyna różnica od poszczególnych składników Taylora polega na tym, że nie ma x_0 tylko jest c. Czym jest to c?
c to pewna liczba pomiędzy x a x_0. U nas x_0=0 bo rozwijamy wokół 0, zaś x jest zmienną, c znajduje się pomiędzy 0 a x. Okazuje się, że c także musi być zmienną zależną od x. Można powiedzieć, że jest funkcją x. Czyli właściwie należało by napisać tak:
R_4(x)=\frac{\sin^{(4)}(c(x))}{4!}x^4
W omawianym przykładzie c zmienia się tak jak pokazuje poniższy obrazek. Dodatkowo na rysunku narysowałem stałą x_0 oraz zmienną x by zobaczyć, iż faktycznie c jest zawarte między nimi.

Oczywistym jest, że w miejscu, w którym x równa się x_0, c również będzie im równe, tzn.x=x_0=c. Teraz jakbyśmy to c podstawili do reszty Lagrange’a uzyskamy taki wykres reszty Lagrange’a

Teraz dodając tą resztę Lagrange do wielomianu Taylora (czerwony wykres na pierwszym obrazku) uzyskamy równość z funkcją rozwijaną. Dlatego też można napisać „równa się”
f(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{sin^{(4)}(c(x))}{4!}. Rysunek kolor zielony. Wykres zakrywa wykres niebieski bo jest taki sam.

OKEJ skoro jest jasne to teraz ogólniej i formalnie.
Mamy funkcję f(x) i rozwijamy ją wokół jakieś x_0 do stopnia n. Wówczas reszta Lagrange jest stopnia n+1. Co zapisujemy tak:
f(x)=f(x_0)+\frac{f\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f\prime\prime(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldot +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_{n+1}(x), gdzie:
R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} jest resztą Lagrange’a. Natomiast c jest pewną liczbą leżącą pomiędzy x a x_0. To znaczy, że c\in[x_0,x] dla x>x_0 lub c\in[x,x_0] dla x<x_0 oczywiście jak x_0=x to jest to też równe c

Co to nam mówi?, że obojętnie jaką byśmy wzięli funkcję (która jest rozwijalna, czyli ciągła i różniczkowalna n+1 razy) i rozwinęli ją do dowolnego stopnia (nie większego niż n, reszta jest stopnia n+1) to zawsze znajdziemy takie c w reszcie Lagrange’a, które dla danego x sprawi, że rozwiniecie będzie równe funkcji.

Jak już było wspomniane c jest funkcją x. Jak to funkcja?. To już trudne pytanie, nie mniej wiemy, że istnieje takie c pomiędzy x a x_0, aby funkcja była równa temu rozwinięciu.

Wyprzedzając pytanie a jak ja znalazłem to c? Komputer wykonał wiele podstawień i szukał coraz lepszego przybliżenia, dla każdego x. Ja zaś napisałem program, który to robił.

INNE PRZYKŁADY
Poniżej możesz zobaczyć inne przykład dla funkcji f(x)=\cos(x) rozwijanej dla 45 stopni (\frac{\pi}{4}.




A tu trochę bardziej wyszukana funkcja f(x)=\frac{x}{2+\cos(x)} rozwijanej wokół -15stopni.



Jak by było dla dwóch zmiennych bardzo podobnie. Wówczas c było by punktem a ponadto dwoma funkcją dwóch zmiennych.

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.