Suma kolejnych liczb naturalnych w ustalonej potędze

    \begin{alignat*}{5} & \sum_{k=1}^{n} 0 			&=& \underbrace{0+0+0+0+\ldots +0}_{n \mbox{ zer}} &=& 0 &&\\ & \sum_{k=1}^{n} 1 			&=& \underbrace{1+1+1+1+\ldots +1}_{n \mbox{ jedynek}} &=& n &&\\ & \sum_{k=1}^{n} k 			&=& 1+2+3+4+\ldots +n &=& \RO{\frac{n^2+n}{2}} &&  \\ & \sum_{k=1}^{n} k^{\Z{2}} 	&=& 1^{\Z{2}}+2^{\Z{2}}+3^{\Z{2}}+4^{\Z{2}}+\ldots +n^{\Z{2}} &=& \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&& \\ & \sum_{k=1}^{n} k^{\B{3}} 	&=& 1^{\B{3}}+2^{\B{3}}+3^{\B{3}}+4^{\B{3}}+\ldots +n^{\B{3}} &=& \left( \RO{\frac{n^2+n}{2}}\right)^2&&   \\ & \G{\sum_{k=1}^{n} k^{\BR{4}}} &=& \G{1^{\BR{4}}+2^{\BR{4}}+3^{\BR{4}}+4^{\BR{4}}+\ldots +n^{\BR{4}}} &=& \G{\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}&&  \\ & \G{\sum_{k=1}^{n} k^{\Y{5}}} &=& \G{1^{\Y{5}}+2^{\Y{5}}+3^{\Y{5}}+4^{\Y{5}}+\ldots +n^{\Y{5}}} &=& \G{\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}}&&  \\ & \qquad \vdots      && \qquad\vdots               && \qquad \vdots &&  \end{alignat*}

    \[\G{\sum_{k=1}^{n} k^p=\frac{1}{p+1}\left(n^{p+1}+{p+1 \choose 1}B_1n^p + {p+1 \choose 2}B_2n^{p-1} + \ldots {p+1 \choose p}B_pn^p \right)}\]

Do wzoru przyjmujemy B_1=\R{+}\frac{1}{2}

Sposób na wyznaczanie kolejnych liczb Bernoulliego

    \[B_n=\sum_{k=0}^n\sum_{v=0}^k(-1)^v\binom kv\frac{v^n}{k+1} \qquad \mbox{ w konwencji }B_1=\R{-}\frac{1}{2}\]

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.