Wielomianowa Krzywa Béziera 3 Stopnia Jako Funkcja f(x) [Wideo]

Jak znaleźć funkcję f(x) daną parametrycznie, czyli w sposób typowy dla krzywych?

projekt_tiny


Wielomianowa krzywa Béziera o punktach kontrolnych

    \[\left( \quad (-1,-1), \quad (0,-1), \quad (0,1), \quad (1,1) \quad \right)\]

Ma wzór parametryczny

     \begin{alignat*}{9} x(t) &=& 2t^3 -3t^2 +3t -1 \\ y(t) &=& -4t^3 +6t^2 -1 \end{alignat*},

gdzie t\in [0,1]

Szukamy wzoru t= ?

    \[x(t) = 2t^3 -3t^2 +3t -1\]

Aby wyznaczyć t w zależności od x należy rozwiązać równanie 3 stopnia z parametrem x

    \[2t^3-3t^2+3t-1-x=0\]

    \[p = \frac{-b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}=\frac{-9}{12} + \frac{3}{2} = \frac{3}{4}\]

    \[q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{-27\cdot 2}{27\cdot 8} -\frac{-9}{12}+\frac{-x-1}{2} = \frac{-x}{2}\]

    \[\Delta = q^2+4\frac{p^3}{3^3} = \frac{x^2}{4} +\frac{1}{16}>0\]

Wzór na t(x)
Rozwiązaniem równanie w^3+pw+q=0

    \[w = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2}}=\]

    \[=\underbrace{\sqrt[3]{\frac{x}{4}+\frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}} }_{\alpha}+ \underbrace{\sqrt[3]{\frac{x}{4}-\frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}}}_{\beta}\]

Mamy już teraz na funkcję t(x)

    \[t = w - \frac{b}{3a} = \frac{1}{2} + \alpha + \beta\]

Skąd wiem, że t jest funkcją x?

bo funkcja x(t) jest rosnąca, to zaś wiadomo, ponieważ x'(t) > 0
W istocie x'(t) = 6t^2-6t+3, ta funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, a skoro współczynnik przy t^2 jest dodatni, to x'(t)>0 co należało pokazać.
Istnieje zatem funkcja odwrotna t(x)

Jak wstawić do y(t) funkcję t(x)?
Jako że teraz będziemy wstawiać za t do wzoru funkcji y, a tam pojawia się t^2 i t^3, to obliczmy je na boku.
Potrzebne nam będą wzory skróconego mnożenia

    \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)\]

    \[(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+6abc\]

Zastosujmy i obliczmy

    \[t = \frac{1}{2} + \underbrace{\sqrt[3]{\frac{x}{4}+\frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}} }_{\alpha}+ \underbrace{\sqrt[3]{\frac{x}{4}-\frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}}}_{\beta}\]

    \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)\]

    \[(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+6abc\]

    \[t^2 = \frac{1}{4}+ \alpha^2 +\beta^2 +\alpha +\beta  +2\alpha\beta\]

    \[t^3 = \frac{1}{8} +\alpha^3 + \beta^3 +3(\frac{\alpha}{4} + \frac{\alpha^2}{2} + \frac{\beta}{4} +\frac{\beta^2}{2} +\alpha^2\beta +\alpha\beta^2 ) + 3\alpha\beta\]

    \[t = \frac{1}{2} + \underbrace{\sqrt[3]{\frac{x}{4}+\frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}} }_{\alpha}+ \underbrace{\sqrt[3]{\frac{x}{4}-\frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}}}_{\beta}\]

    \[t^2 = \frac{1}{4}+ \alpha^2 +\beta^2 +\alpha +\beta  +2\alpha\beta\]

    \[t^3 = \frac{1}{8} +\alpha^3 + \beta^3 +3(\frac{\alpha}{4} + \frac{\alpha^2}{2} + \frac{\beta}{4} +\frac{\beta}{2} +\alpha^2\beta +\alpha\beta^2 ) + 3\alpha\beta\]

    \[y(t) = -4t^3+6t^2-1\]

    \[y = -\frac{1}{2} -4\alpha^3 - 4\beta^3 + 3(-\alpha -2\alpha^2 - \beta -2\beta^2 - 4\alpha^2\beta - 4\alpha\beta^2 ) +\]

    \[-12\alpha\beta + \frac{3}{2} + 6\alpha^2 + 6\beta^2 + 6\alpha +6 \beta +12 \alpha\beta -1\]

Wzór funkcji f(x) jest blisko

    \[y = -\frac{1}{2} -4\alpha^3 - 4\beta^3 + 3(-\alpha -2\alpha^2 - \beta -2\beta^2 - 4\alpha^2\beta - 4\alpha\beta^2 ) +\]

    \[-12\alpha\beta + \frac{3}{2} + 6\alpha^2 + 6\beta^2 + 6\alpha +6 \beta +12 \alpha\beta -1\]

    \[y = 3\alpha + 3\beta -4(\alpha^3 +\beta^3 ) -12\alpha\beta(\alpha + \beta )\]

    \[y = (\alpha + \beta ) (3 - 12 \alpha\beta ) -4 (\alpha^3+ \beta^3)\]

\alpha\beta=? oraz \alpha^3 + \beta^3=?

    \[\alpha = \sqrt[3]{\frac{x}{4}+\frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}}\]

    \[\beta = \sqrt[3]{\frac{x}{4}-\frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}}\]

    \[\alpha\beta = \sqrt[3]{\left(  \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{4x^2+1}}{8} \right)\left( \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}  \right)} =\sqrt[3]{\frac{x^2}{16} - \frac{4x^2+1}{64}} = \frac{-1}{4}\]

    \[\alpha^3+\beta^3 = \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{4x^2+1}}{8} + \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{4x^2+1}}{8} =\frac{x}{2}\]

Wzór funkcji f(x)

    \[\alpha\beta = \frac{-1}{4}\]

    \[\alpha^3+\beta^3 = \frac{x}{2}\]

    \[y = (\alpha + \beta ) (3 - 12 \alpha\beta ) -4 (\alpha^3+ \beta^3)\]

    \[y = -2x + 6(\alpha+\beta)\]

    \[y = -2x + 6\left[ \  \sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}}  + \sqrt[3]{\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{4x^2+1}}{8}}  \ \right]\]

Co nam to dało?
Oba opisy krzywej są nieunormowane, lecz
Możliwość aproksymacji wzorem Taylora
Możliwość łatwego równomiernego próbkowania – co ma walory praktyczne

Ogólniej
Jakby ktoś chciał spróbować to może podjąć wyzwanie wyznaczenia wzoru f(x) krzywej Beziera 3 stopnia zdeterminowanej przez punkty kontrolne ogólnie

    \[\begin{bmatrix} A & B & C & D \\ E & F & G & H \end{bmatrix}\]

Dla ułatwienie podam, że wzór parametryczny takiej krzywej to

    \[x(t) = (3B-A-3C+D)t^3 + (3A-6B+3C) t^2 + (3B-3A)t +A\]

    \[y(t) = (3F-E-3G+H)t^3 + (3E-6F+3G)t^2 +(3F-3E)t + E\]

gdzie t\in[0,1] oraz A,B,C,D,E,F,G,H\in\RR, takie że A<B<C<D
Dodam, że teraz zadanie jest dużo trudniejsze.

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.