Wzór Taylora dla dwóch i więcej zmiennych

Jakiś czas temu było o wzorze Taylora dla jednej zmiennej. Rozważaliśmy wówczas pewną funkcję zmiennej x, która była aproksymowana (przybliżana). Interpretacja graficzna była przedstawiona na płaszczyźnie, gdzie na jednej osi zaznaczony był argument funkcji (x), a na drugiej osi wartość tej funkcji f(x).

To teraz będzie aproksymować funkcję dwóch zmiennych. Interpretacja przez analogie będzie obejmować przestrzeń gdyż: na jednaj osi będzie współrzędna x, na drugiej osi będzie współrzędna y, a na trzeciej wartość funkcji f(x,y).

Weź na początek funkcję f(x,y)=cos(x^2+y^2)

Wygląda ona następująco

dla funkcji jednej zmiennej rozwijaliśmy funkcję wokół pewnego punktu (x,f(x)) np. (45^{\circ},sin(45^{\circ})). Teraz będziemy rozwijać wokół punktu(x,y,f(x,y)).

Spójrz poniżej są rysunki do porównania jak wyglądają kolejne aproksymacje funkcji jednej zmiennej f(x)=sin(x) rozwijanej dla (x_0=45^{\circ}) i dwóch zmiennych f(x,y)=cos(x^2+y^2) rozwijanej dla (x_0,y_0)=(\sqrt{\frac{\pi}{6}},\sqrt{\frac{\pi}{6}}). Dla wielomianów zerowego stopnia pierwszego oraz drugiego stopnia.

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej f(x) wielomianem 0 stopnia to najbardziej zgrubne oszczowanie, Czyli takie, które zakłada, że funkcja jest stała i ma wartośc równą wartości funkcji w rozwijanym punkcie.
Mówiąc prosto jest to prosta równoległa do osi x przechodząca przez punkt wokół, którego rozwijamy funkcję.

Analogicznie jest dla funkcji dwóch zmiennychf(x,y), Jest to płaszczyzna równoległa do płaszczyzny XOY przechodząca przez punkt wokół, którego rozwijamy.

f(x)\approx \frac{\sqrt{2}}{2}
f(x)\approx A
f(x,y)\approx \frac{1}{2}
f(x,y)\approx A

Aproksymacja funkcji wielomianem 1 stopnia to dla: funkcji jednej zmiennej f(x) prosta styczna do wykresy w rozwijanym punkcie; funkcji dwóch zmiennych f(x,y) to płaszczyzna styczna do wykresu w rozwijanym punkcie.

f(x)\approx \frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{4-\pi}{8}\sqrt{2}
f(x)\approx Ax+B
f(x,y)\approx -\sqrt{\frac{\pi}{2}}x-\sqrt{\frac{\pi}{2}}y+1+\frac{\pi}{\sqrt{3}}
f(x,y)\approx Ax+By+C

Dla wielomianów coraz to wyższego stopnia uzyskujesz co raz lepszą aproksymację (przybliżenie). Przybliżona wartość funkcji dla punktu bliższego punktowi wokół, którego rozwijamy jest dokładniejsza, niż przybliżona wartość funkcji w punkcie odległym od punktu rozwijanego. Poniżej obrazki dla wielomianów 2 stopnia.

f(x)\approx -\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{4+\pi}{8}\sqrt{2}x+\frac{32-8\pi-\pi^2}{64}\sqrt{2}
f(x)\approx Ax^2+Bx+C

f(x,y)\approx Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F

A tutaj przedstawiona jest animacja prezentująca kolejne przybliżenia funkcji wielomianem dwóch zmiennych coraz wyższego stopnia do wielomianu 10 stopnia włącznie.

Teraz skoro wiadomo o co chodzi spójrz poniżej na wzór, który pozwala to obliczać.

f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\frac{1}{1!}df(x_{0},y_{0})(x-x_{0},y-y_{0})+\\ +\frac{1}{2!}d^2f(x_{0},y_{0})(x-x_{0},y-y_{0})+...+\\ +\frac{1}{(n-1)!}d^{n-1}f(x_{0},y_{0})(x-x_{0},y-y_{0})+\\ +R_n(x,y)

gdzie d^nf(x_{0},y_{0})(x-x_{0},y-y_{0})=\sum\limits_{i=0}^{n} {n\choose i}\frac{\partial^nf(x_{0},y_{0})}{\partial_{x}^{n-i}\partial_{y}^{i}}\cdot (x-x_{0} )^{n-i}(y-y_{0})^{i}
Czym jest R_n(x,y)? Dla jasności umysłu, na razie możesz się tym nie przejmować ( i założyć, że jest równe 0) wytłumaczę w następnym wpisie.

Podobnie jak miało to miejsce wcześniej im wyższy stopień wielomianu tym dokładniejsza aproksymacja funkcji. Najlepiej jest rozwijać wokół punktów, dla których znamy wartość funkcji.

Teraz animacje dla innych funkcji:

f(x,y)=e^{x-y^2}, w punkcie (x_0,y_0,f(x_0,y_0))=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\sqrt[4]{e})


f(x,y)=ln(xy), w punkcie (x_0,y_0,f(x_0,y_0))=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},ln 0,25)


Na koniec pytanie a co by było dla 3 zmiennych f(x,y,z) albo więcej? No cóż odpowiedź jest brutalna nic by nie było :-). Dla 3 zmiennych jest problem z interpretacją, bo żeby przedstawić taki wykres potrzeba 4 wymiarowej przestrzeni (3 osie zmiennych i 1 oś dla wartości). Człowiek nie jest przyzwyczajony do myślenia w 4 wymiarowej przestrzeni, gdyż żyjemy w świecie 3 wymiarowym. Czy jesteś w stanie wyobrazić sobie 4 osie, gdzie każda z każdą jest prostopadła i przecinają się w jednym punkcie? Wspomnę tylko o przykładzie w postaci tesseraktu (hipersześcianie). Co to jest ten tesserakt w największym skrócie tesserakt jest tym dla sześcianu czym sześcian dla kwadratu. Zobacz poniżej.

Oczywiście problem jest tylko z wizualizacją, bo formalnie zagadnienie można rozpatrywać. Matematycy nie byli by sobą, gdyby nie rozpatrzyli ogólnego przypadku. Wzór na rozwinięcie funkcji „n” zmiennych f(x_1,x_2,…,x_n) w punkcie (\hat{x}_{1},\hat{x}_{2},\ldots,\hat{x}_{k},f(\hat{x}_{1},\hat{x}_{2},\ldots,\hat{x}_{k})) wygląda trochę taśmecowato, ale się da :-) i nawet da się udowodnić!

f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{k})= \\= \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1}{i!}\sum\limits_{\substack{\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{k}\ge0 \\ \alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{k}=n }} {n\choose \alpha_1\ \alpha_2 \  \ldots \ \alpha_k}\frac{\partial^{n}f(\hat{x}_{1},\hat{x}_{2},\ldots,\hat{x}_{k})}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \partial x_{2}^{\alpha_{2}}...\partial x_{k}^{\alpha_{k}} }  (x_{1}-\hat{x}_{1})^{\alpha_{1}}...(x_{2}-\hat{x}_{k})^{\alpha_{k}}+ \\+ R_n(x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}) ,

gdzie:
{n\choose \alpha_1\ \alpha_2 \  \ldots \ \alpha_k} to współczynnik wielomianowy, o którym jeszcze napiszę.
R_n(x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}) to reszta Lagrange’a [Lagranża] o której będzie przy następnej okazji. Powiem tylko tyle wielomian Taylora + reszta Lagrange’a daje wzór Taylora.

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.