Złota proporcja, złoty podział, ciąg Fibonacciego

Złota proporcją interesowali się już starożytni można ja znaleźć w: starożytnych budowlach, w przyrodzie, długości odpowiednich paliczków są w złotej proporcji. Kartka do drukarki (A4) ma długości krawędzi w złotym stosunku.
Złota proporcja jest definiowana następująco. Masz odcinek o pewnej długości i chcesz go tak podzielić, aby długość całego odcinka w stosunku do dłuższej części po podziale miał się tak, jak dłuższa cześć do krótszej części. Długości odcinków muszą spełniać następujące równanie:

\frac{odcinek}{dlusza \ czesc}=\frac{dlusza \ czesc}{krutsza \ czesc}.

Dla takich oznaczeń otrzymujesz następujące równanie:
złoty podział odcinka


\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x}

Gdybyś rozwiązał to równanie to otrzymał byś, że ten stosunek wynosi 1,618033988750
A dokładniej to
\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,618


Rozwiązanie
\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x} \\ y^{2}=x^{2}+xy \\ y^{2}-xy-x^{2}

Teraz np. zakładasz, że niewiadomą jest y (rozwiązujemy równanie względem y) i obliczasz wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę).
\Delta=(-x)^{2}-4\cdot 1\cdot x^{2} \\ \Delta=5x^{2}\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{5}|x|

x>0 bo oznacza długość odcinka, a długość jest zawsze dodatnia. Otrzymujesz, że y wynosi:

y_{1}=\frac{x+\sqrt{5}x}{2} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0 \\ y_{2}=\frac{x-\sqrt{5}x}{2} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0 .

Odcineky także musi być dodatni, a z tego wynika, że stosunek wartości dodatnich y/x także musi być dodatni. Odrzucamy rozwiązanie y_{2}
Złota proporcja ma ścisły związek z ciągiem Fibonacciego
Jest to taki ciąg, w którym wartość danego elementu jest równa sumie dwóch poprzednich.
ciąg przyjmuje wartości
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,...
Stosunek danego wyrazu do poprzedniego jest w przybliżeniu w złotej proporcji. Przy czym to przybliżenie dąży idealnie do złotej proporcji im wyraz jest większy tym lepsze to przybliżenie.

\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{1}{1}=1 \\ \frac{F_{3}}{F_{2}}=\frac{2}{1}=2 \\ \frac{F_{4}}{F_{3}}=\frac{3}{2}=1,5 \\ \frac{F_{5}}{F_{4}}=\frac{5}{3}\approx1,66 \\  \vdots \\  \frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{233}{144}\approx1,618056

 \vdots

 \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398875...

Złota proporcja podobno występuje w przyrodzie, czyli także w zwierzętach w ciele ludzkim. Mówię podobno bo osobiście tego nie sprawdzałem :-)
poniżej fotki jest tego przeogromna ilość.




a tu piękny filmik czułem, że coś jest w tych słonecznikach.

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.