Nagranie 5

Piąta Lekcja Kursu Pochodnej

Praca domowa:

Zad 1.
Wyznaczyć ekstrema funkcji:
a) f(x)=x^2+2x-2
b) f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}
c) f(x)=\sin x - \cos x
d) f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}

Zad 2.
Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=x^3-5x^2+7 w przedziale [1,4].

Zad 3.
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:
a) f(x)=\frac{x^2+3x}{x^3}
b) f(x)=x^3+2x-\sin x
c) f(x)=\sin x \cos x
d) f(x)=\sin x +\cos^2x

Zad 4.
Korzystając z rachunku różniczkowego wyprowadź wzory na ekstrema trójmianu kwadratowego f(x)=ax^2+b+c, gdzie a,b,c \in \mathbb{R} oraz a\neq 0.

Zad 5.
Znajdź współrzędne punktu leżącego na paraboli o równaniu y=x^2, ktrógo odległość od punktu A=(0,8) jest najmniejsza.

Zad 6.
Zakładowi produkcyjnemu zlecono wykonanie blaszanych skrzynek z pokrywką o objetości 648 cm^3 i stosunku krawędzi podstawy 1:3. Jakie wymiary powinny mieć skrzynki, aby do ich wykonania zużyć jak najmniej materiału?

Zad 7.
Wykazać, że funkcja f(x)=2x^3+6x^2+30x+3 jest ściśle rosnąca w przedziale (-\infty, \infty ).

Zad 8.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji.
a) f(x)=\operatorname{arctg}x-\ln x
b) f(x)=x+\sin ^2 2x

Zad 9.
Wyznaczyć ekstrema funkcji f danej wzorem f(x)=\frac{x^2+1}{x}.

Zad 10.
Zbadać, czy funkcja f(x)=3x^4-4x^3-6x^2+12x+4 ma ekstremum.

Zad 11.
Wyznaczyć ekstrema funkcji f danej wzorem f(x)=x^{\frac{2}{3}}(x^2-4).

Zad 12.
Wyznaczyć ekstremum funkcji f danej wzorem f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{dla } x \geq 0\\-2x+1 & \text{dla } x<0 \end{cases}

Zad 13.
Znaleźć największą oraz najmniejszą wartość funkcji f(x)=x+\frac{2}{x}-2 w przedziale [1,4].

Zad 14.
Sprawdzić, czy funkcja f dana ponizszym wzorem ma ekstremum.
f(x)=\begin{cases}x &\text{dla }x\le 2 \\ x-1&\text{dla } x>2 \end{cases}

Zad 15.
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f.
a) f(x)=\frac{2}{x}-x^2
b) f(x)=x^3(3x-8)
c) f(x)=x^3-3x
d) f(x)=3x^5-4x^3+3x
e) f(x)=3x+2\sin x
f) f(x)=1+60x-46x^2+12x^3-x^4
g) f(x)=(x+\frac{1}{x})^x \text{ dla } x>0
h) f(x)=\sqrt{x} \ln x
i) f(x)=x^{\frac{2}{3}}e^{-\frac{x^2}{3}}
j) f(x)=\sqrt[3]{(x^2-2x)^2}
k) f(x)=\ln (x^2-1) + \frac{1}{x^2-1}

Zad 16.
Wykazać, że dana funkcja jest rosnąca bądź malejąca.
a) f(x)=x^3+x jest rosnąca
a) f(x)=-x^3-3x+9 jest malejąca
a) f(x)=\frac{\sqrt{x^2+4x}}{x} jest rosnąca w przedziale (-6,-4)

Zad 17.
Znaleźć ekstrema lokalne funkcji.
a) f(x)=\frac{4x}{x^2+1}
b) f(x)=(1-x)^4+4x+2
c) f(x)=\sqrt[3]{(1-x^2)^2}
d) f(x)=x-\sqrt{x}
e) f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+4}
f) f(x)=|x^2+x-2|
g) f(x)=x^2+2|x|-3
h) f(x)=2-|x|
i) f(x)=|x-2|+|x+1|+2
j) f(x)=\ln(x^2-1)+\frac{1}{x^2-1}

Rozwiązania Kliknij, aby zobaczyć rozwiązania

Be Sociable, Share!

6 thoughts on “Nagranie 5”

      • Dominik

        Nie ma sprawy :)) Nie robiłem wszystkich zadań, bo w pochodne i różniczki bawię się już czwarty rok, zajrzałem z czystej ciekawości – dlatego też nie jestem w stanie wyłapać wszystkich błędów. W zad. 4 zabrakło iksa przy współczynniku b.

        Nie czepiam się z nudów tylko staram się pomóc. Ogólnie, jeżeli chodzi o kurs, bardzo dobra robota!

        Odpowiedz

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.