01 Podstawy Podstaw – Obliczenia procentowe

Ostatnio był film bardzo trudny o rozkładzie Jordana macierzy, to dziś bardzo podstawowy, z podstaw podstaw. Poruszę dziś temat, na poziomie szkoły podstawowej maksymalnie gimnazjum. Chodzi dokładnie o procenty.

Zauważyłem, iż dość dużo osób ma problem z takim podstawami …

W dzisiejszym świecie na każdym kroku spotkamy się z procentami.
– Paski postępu, procent wykonania, procent naładowania baterii
– oprocentowanie lokaty, kredytu,
– obniżki i podwyżki cen, marże, prowizje, podatki, zwrot z inwestycji,
– zawartość tłuszczu w mleku, stężenie roztworów, zawartość mięsa w mięsie
– wilgotność powietrza, alkomaty, próby jubilerskie
– diagramy kołowe, słupkowe

Cała idea sprowadza się do jednego stwierdzenia, iż pewną całość oznaczmy przez $100$ procent.
Przy czym tę całością niekoniecznie musi $1$ . Może to być np. pakiet $6$ piw, czy np. $20$ drzew.

Przykładowo:
$1$ procent baku paliwa to inaczej $\frac{1}{100}$ tego baku
$1$ procent chleba to inaczej $\frac{1}{100}$ tego chleba

Dokładnie tak samo na samych liczbach
$1 \%$ to $\frac{1}{100} = 0,01$
$100 \%$ to 1
$30 \%$ to $\frac{30}{100}= 0.3$
$0,5 \%$ to $\frac{0,5}{100}= 0,005$
$300 \%$ to $\frac{300}{100} = 3$
$-150 \%$ to $\frac{-150}{100} = -1.5$
$p\%$ to $\frac{p}{100}$

Jak zapewne już zauważyłeś lub zauważyłaś ułamki możemy zastępować procentami, a procenty ułamkami.

Jeśli chodzi o zamianę z liczby (ułamka), na procenty to warto posłużyć się prostym wierszykiem.

“Gdy procenty chcesz utworzyć przez 100% procent musisz mnożyć”

Przykłady:
$\frac{1}{4}$ to $\frac{1}{4} \cdot 100 \% = 25 \%$
$1,23$ to $1,23 \cdot 100 \% = 123 \%$
$30$ to $30 \cdot 100 \% = 3000 \%$

Rzecz jasna przy zmianie z procentów na liczbę dzielimy na $100 \%$
np.
$40\%$ to $\frac{40 \% }{100 \%}= \frac{4}{10} = 0,4$
$5\%$ to $\frac{5\%}{100\%} = \frac{1}{20}$

Wyróżnić w zasadzie możemy 7 czynności z procentami

Typowe zadania z procentami to:
1. Obliczanie procentu danej liczby
2. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
3. Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent
4. O ile procenta coś się zmieniło
– wzrosło, zmalało, staniało, zdrożało, itp.
5. Mieszanie roztworów – metoda 3 kubków
6. Procent prosty (przyrost liniowy)
7. Procent składany (przyrost wykładniczy)

W tym poście skupimy się na najprostszych, pierwszych 3 typach zadań

Przykłady:
1. Obliczanie procentu danej liczby

$20 \%$

$0,7$

$20\% \cdot 0,7 = 0,2\cdot 0,7 = 0,14$

$40 \%$

$1600$

$40\% \cdot 1600 = 0,4\cdot 1600 = 640$

2. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

$500$

$25$

$\frac{25}{500}\cdot 100\%=5\%$

$2500$

$100$

$\frac{100}{2500}\cdot 100 \% = 4\%$

3. Obliczanie liczby gdy dany jest jej procent

$23 \%$

$69$

$\frac{23}{100}\cdot x = 69 \Rightarrow 23x = 6900 \Rightarrow x = 300$

$0,5$

$0,02 \%$

$\frac{0.02}{100} x = 0,5 \Rightarrow 2x = 5000 \Rightarrow x = 2500$

Widać już schemat teraz wypada to uogólnić i podać wzory ogólne.

1. Obliczanie procentu danej liczby
$p \%$ z $x$ to $\frac{p}{100} \cdot x$
2. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
Jaki procent $x$ stanowi $y$

$\frac{y}{x} \cdot 100 \%$

3. Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent
$p \%$ wynosi $y$

$\frac{p}{100} \cdot x =y$

$x = y \cdot \frac{100}{p}$

Czasami jest do wykonania jest jeden krok więcej

Franek wziął szybką pożyczkę na $2000$ zł oprocentowanie wynosi $40 \%$ , ile będzie pieniędzy musiał oddać?

Będzie musiał oddać $1$ całość czyli te $2000$ zł plus $40 \%$ dodatkowo, czyli razem $1,4$ całości

$1,4 \cdot 2000 = 2800$

Pracowniczka zarabiała $3000$ zł dostała podwyżkę i teraz zarabia $3600$ zł. Ilu procentową podwyżkę dostała?

Podwyżka to $600$ zł w stosunku do tego co było, czyli $3000 zł$ wychodzi

$\frac{600}{3000} \cdot 100\%$

Cena biletu wzrosła o $36 \%$ i teraz wynosi $74,8$ zł. Jaka była cena wcześniej?

Oznaczmy:
$x$ cena biletu przed podwyżką.
nowa cena to cena początkowa czyli $x$ i potem dodatkowo jeszcze $36 \%$ więc

$136 \% x = 74,8 \Rightarrow 1,36x = 74,8 \Rightarrow x = 55$

Z tego warto zdawać sobie sprawę
Powiedzmy, że takie same spodnie kosztowały $100$ zł w jednym i drugim sklepie.
Pierwszy sklep obniżył cenę o $10 \%$ , a potem podniósł o $10 \%$
Drugi sklep podniósł cenę o $10 \%$ , a potem obniżył o $10 \%$
W którym sklepie cena spodni jest większa, w porównaniu z tą przed zmianami?
W którym sklepie cena spodni jest wyższa po zmianach?