Reszta Lagrange’a we wzorze Taylora

Obiecywałem w poprzednich postach opowiedzieć o reszcie Lagrange’a tak też zrobię.
Zacznę od stwierdzenia, na którym zakończyłem parę wpisów wcześniej przy opisie wielomianów Taylora.
Wielomian Taylora wraz z resztą Lagrange’a daje wzór Taylora.

Kiedy rozwijamy funkcję w wielomian Taylora pewnego skończonego stopnia, powiedzmy do funkcji trzeciego stopnia, to reszta Lagrange’a będzie stopnia o 1 większym czyli 4.
Weźmy funkcję sin x i rozwińmy ją w wielomian Taylora do stopnia 3 wokół punktu $x_0=0$ (czyli rozwinięcie Maclaurina). Rysunek prezentuje takie rozwinięcie.

Mamy zatem funkcję $f(x)=\sin(x)$
Rozwijając do 3 stopnia wokół 0 mamy wzór:
$f(x)\approx x-\frac{x^3}{6}$
Nie zależnie do jakiego stopnia byśmy rozwijali w dalszym ciągu będziemy mieć przybliżenie.
Chcąc mieć równość musimy dodać resztę Lagrange
$f(x)=x-\frac{x^3}{6}+R_4(x)$
A czym jest ta reszta?
Zobacz jak powstało to rozwinięcie.
$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}x+\frac{f''(x_0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}x^3+R_4(x)$

$f(x)=\underbrace{\sin(x_0)}_{0}+\underbrace{\frac{\cos(x_0)}{1!}x}_{x}+\underbrace{\frac{-\sin(x_0)}{2!}x^2}_{0}+\underbrace{\frac{-\cos(x_0)}{3!}x^3}_{-\frac{x^3}{6}}+R_4(x)$

W naszym przypadku to $R_4(x)=\frac{\sin^{(4)}(c)}{4!}x^4$
Jedyna różnica od poszczególnych składników Taylora polega na tym, że nie ma $x_0$ tylko jest $c$ . Czym jest to $c$ ?
$c$ to pewna liczba pomiędzy $x$ a $x_0$ . U nas $x_0=0$ bo rozwijamy wokół $0$ , zaś $x$ jest zmienną, $c$ znajduje się pomiędzy $0$ a $x$ . Okazuje się, że $c$ także musi być zmienną zależną od $x$ . Można powiedzieć, że jest funkcją $x$ . Czyli właściwie należało by napisać tak:
$R_4(x)=\frac{\sin^{(4)}(c(x))}{4!}x^4$
W omawianym przykładzie $c$ zmienia się tak jak pokazuje poniższy obrazek. Dodatkowo na rysunku narysowałem stałą $x_0$ oraz zmienną $x$ by zobaczyć, iż faktycznie $c$ jest zawarte między nimi.

Oczywistym jest, że w miejscu, w którym $x$ równa się $x_0$ , $c$ również będzie im równe, tzn. $x=x_0=c$ . Teraz jakbyśmy to $c$ podstawili do reszty Lagrange’a uzyskamy taki wykres reszty Lagrange’a

Teraz dodając tą resztę Lagrange do wielomianu Taylora (czerwony wykres na pierwszym obrazku) uzyskamy równość z funkcją rozwijaną. Dlatego też można napisać „równa się”
$f(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{sin^{(4)}(c(x))}{4!}$ . Rysunek kolor zielony. Wykres zakrywa wykres niebieski bo jest taki sam.

OKEJ skoro jest jasne to teraz ogólniej i formalnie.
Mamy funkcję $f(x)$ i rozwijamy ją wokół jakieś $x_0$ do stopnia $n$ . Wówczas reszta Lagrange jest stopnia $n+1$ . Co zapisujemy tak:
$f(x)=f(x_0)+\frac{f\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f\prime\prime(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldot +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_{n+1}(x)$ , gdzie:
$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ jest resztą Lagrange’a. Natomiast $c$ jest pewną liczbą leżącą pomiędzy $x$ a $x_0$ . To znaczy, że $c\in[x_0,x]$ dla $x>x_0$ lub $c\in[x,x_0]$ dla $x<x_0$ oczywiście jak $x_0=x$ to jest to też równe $c$

Co to nam mówi?, że obojętnie jaką byśmy wzięli funkcję (która jest rozwijalna, czyli ciągła i różniczkowalna n+1 razy) i rozwinęli ją do dowolnego stopnia (nie większego niż $n$ , reszta jest stopnia n+1) to zawsze znajdziemy takie $c$ w reszcie Lagrange’a, które dla danego $x$ sprawi, że rozwiniecie będzie równe funkcji.

Jak już było wspomniane $c$ jest funkcją $x$ . Jak to funkcja?. To już trudne pytanie, nie mniej wiemy, że istnieje takie $c$ pomiędzy $x$ a $x_0$ , aby funkcja była równa temu rozwinięciu.

Wyprzedzając pytanie a jak ja znalazłem to $c$ ? Komputer wykonał wiele podstawień i szukał coraz lepszego przybliżenia, dla każdego $x$ . Ja zaś napisałem program, który to robił.

INNE PRZYKŁADY
Poniżej możesz zobaczyć inne przykład dla funkcji $f(x)=\cos(x)$ rozwijanej dla 45 stopni ( $\frac{\pi}{4}$ .

A tu trochę bardziej wyszukana funkcja $f(x)=\frac{x}{2+\cos(x)}$ rozwijanej wokół -15stopni.