średnia średniej nie równa

Posted on by Mateusz Kowalski

Najpopularniejsza jest średnia arytmetyczna stosowałeś ją nie jednokrotnie. Przy liczeniu średniej ocen w szkole. Czyli dodawałeś wszystkie oceny, a następnie otrzymany wynik dzieliłeś przez ilość tych ocen.

Zwrócę Twoją uwagę na fakt, że nie zawsze jest to średnia odpowiednia do danego problemu.

Poniżej prezentuje interpretacje geometryczną średnich, ale tylko dla dwóch liczby. Zakładając, że te liczby to długość podstaw trapezów.
Długość niebieskiego odcinka jest właśnie średnią arytmetyczną czyli \frac{a+b}{2}

Długość odcinek czerwonego to średnia kwadratowa \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
Długość odcinka zielonego to średnia geometryczna \sqrt{a\cdot b}
Długość odcinka brązowego to średnia harmoniczna \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}

Powyższy trapezu pięknie obrazuje słuszność nierówności Cauch’ego o średnich, która głosi, iż średnia kwadratowa jest zawsze większa bądź równa od średniej arytmetycznej, ponadto iż średnia arytmetyczna jest zawsze większa bądź równa od średniej geometrycznej oraz, że średnia geometryczna jest zawsze większa bądź równa średniej harmonicznej dla tego samego zestawu danych.

s_{kwa} \ge s_{ary} \ge s_{geo} \ge s_{har}

No dobrze, ale Ty pewnie zapytasz, a do czego są potrzebne te inne średnie.
To jedźmy po kolei.

Średnia harmoniczna

Przykład 1.
Używana jest przy obliczaniu średniej prędkości pojazdu powiedzmy że pojazd z Warszawy do Krakowa jechał ze średnią prędkością 40\frac{km}{h} a następnie z Krakowa do warszawy ze średnią prędkością 60\frac{km}{h}. Jego średnia prędkość wynosi 48\frac{km}{h}. Dlaczego? A no dlatego, że może i drogi są tej samej długości, ale czas jazdy z mniejszą prędkością jest większy, niż czas jazdy z większą prędkością a prędkość to droga podzielony przez czas.

Przykład 2.
Jak byś połączył dwa rezystory równolegle jeden o oporze 40 \Omega i drugi o oporze 60 \Omega to możesz je zastąpić dwa rezystorami o oporze 48 \Omega (średnia harmoniczna) połączonych także równolegle.

Przykład 3.
Jeżeli jedna pompa jest w stanie napełnić cały basen w 4 godzin, a druga pompa jest w stanie napełnić cały basen w 6 godzin. To w jakim czasie te dwie pompy pracując razem sa w stanie napełnić basen? -> odpowiedź w czasie 2,4 godziny czyli połowy średniej harmonicznej, czyli analogicznie jak w rezystorach.

Średnia geometryczna

Przykład 1.
Poziom zysku w pewnej firmie w kolejny 3 miesiącach wynosił odpowiednio 500zł, 750zł i 825zł. Jaki jest średni względny przyrost zysku.
\frac{750}{500}=1,5 <- przyrost między 1 a 2 miesiącem \frac{825}{750}=1,1 <- przyrost miedzy 2 a 3 miesiącem \sqrt{1,5\cdot 1,1}\approx 1,2845 <- średni przyrost to oznacza, że gdy na początku zysk wynosił 500zł i gdyby przyrost zysku był cały czas taki sam i wynosił 1.2845 to w trzecim miesiącu uzyskalibyśmy także 825zł zysku. Przykład 2.
Pewien bank oferuje 3 letnią lokatę o oprocentowaniu zmiennym 6%, 7% i 8% w kolejnych latach albo o stałym oprocentowaniu 7,2%, która opcja jest korzystniejsza ?

W pierwszym wariancie mamy 1,08\cdot (1,07\cdot (1,06x) =1,224936x ,
gdzie x to kwota początkowa.

Natomiast w wariancie 2 mamy 1,072\cdot (1,072\cdot (1,072\cdot x))=1,072^{3}x=1,23192524x
Czyli minimalnie wariant 2 jest lepszy.

Średnia arytmetyczna

Przykład 1.
do obliczania średniej ocen
przykład: Uczeń ma następujące oceny(, z których każda ma taką samą wagę): 3 4 5 4 3 4
średnia wynosi \frac{3+4+5+4+3+4}{5}=4,6

Przykład 2.
Dwóch lekarzy bada pacjentów. czas wizyt poszczególnych pacjentów u pierwszego lekarza wynosiły 10, 15, 20, 5, 10, 5, 10, 15, 15
u drugiego lekarza wynosiły: 10, 15, 5, 10, 10, 8, 12, 10 , 20
średnia pierwszego to \frac{105}{9}\approx 11,7 min
średnia drugiego to \frac{100}{9}\approx 11,1 min

Średnia kwadratowa

Przykład 1.
Stefan ma 3 działki ziemi o kwadratach o boku 10m, 20m, 30m, chce podzielić ziemię po równo między swoimi dziećmi Zosią, Marysią i Tomkiem. Postanowił zamienić działki na 3 także kwadratowe lecz jednakowej wielkości jaki musi być bok takich działek.

Stosując wzór średniej kwadratowej mamy \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}
uzyskujemy, że działki powinny być o boku 21,60m
\sqrt{\frac{10^2+20^2+30^2}{3}}=\sqrt{100\frac{1^2+2^2+3^2}{3}}=10\sqrt{\frac{14}{3}}\approx 21,60m

Be Sociable, Share!

Comments

comments

3 thoughts on “średnia średniej nie równa”

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.