Rozwijanie w szereg Taylora

Powiem ci szczerze, gdy pierwszy raz usłyszałem o tym twierdzeniu na uczelni to nie wiele zrozumiałem.

Dopiero po pewnym czasie przy okazji innych zagadnień rozkminiłem o co chodzi. Gdyby mi ktoś narysował takie rysunki w momencie bym zrozumiał o co chodzi.

Polega to na tym, iż przybliżmy pewną funkcje przy pomocy funkcji wielomianowych.
Poniższa animacja przybliża (aproksymuje) funkcje sinus wokół punktu o argumencie 45 stopni

Wskazówka $\pi=180^{\circ} \\ \frac{\pi}{2}=90^{\circ}$

To oznacza iż wybierając jakiś stopnień wielomianu powiedzmy drugi, czyli funkcję kwadratową (parabolę) to im dalej od tego punktu (45 stopni) tym błąd przyblizenia (aproksymacji) jest większy.

Można ten błąd zmniejszyć przybliżając funkcję sinus wielomianem wyższego rzędu powiedzmy wielomianem 8 stopnia. Można także rozwinąć funkcję dla innego znanego kąta, który jest bliższy temu dla którego chcemy obliczyć wartość funkcji sinus.

Przykładowo jak chcesz obliczyć wartość funkcji sinus dla kąta równego 82 stopnie to wówczas nie będziesz rozwijał wokół 45 stopni tylko wokół 90 stopni. bo 90 jest bliższe 82 niż 45, a zatem błąd przybliżenia będzie mniejszy.

No dobrze zapytasz ale poco takie kombinację odstawiać?
A no dlatego aby obliczyć przybliżoną wartość funkcji sinus dla kąta powiedzmy 40 stopni.
Komputer, albo kalkulator właśnie dokonuje takich przybliżeń aby móc ci wyliczyć tą wartość.
Taki kalkulator ci napisze $sin(40^{\circ})=0,6427876096$ . Ciekawe skąd ten twór to wiedział. Czy nie zastanawiałeś się skąd kalkulator to wie? Ten wzór po prostu sprowadza problem znajdowania sinusa do problemu dodawań, mnożeń i dzieleń, a te już potrafi wykonać. Wyprzedzając pytanie a jak potrafi dodawać. Kręci mnie, żeby wejść w temat techniki cyfrowej i to wytłumaczyć, ale na to bym musiał poświęcić osobny blog.

Przyjrzyj się następnej animacji tym razem rozwijamy funkcję sinus wokół punktu o argumencie 15 stopni.

Aproksymacja funkcji sinus przez funkcje wielomianowe

A tu kolejny przykład tym razem rozwijania wokół argument równego 72 stopnie.

Teraz kiedy rozumiesz już o co chodzi wytłumaczę ci to formalnie.

Twierdzenie w ogólności wygląda tak:

$f(x)=f(a)+\frac{x-a}{1!}f^{(1)}(a)+\frac{(x-a)^{2}}{2!}f^{(2)}(a)+...+\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)+R_n(x)$
gdzie:
$a$ to argument wokół, którego rozwijamy
$f^{(n)}$ to n-ta pochodna funkcji, która aproksymujemy
$R_n(x)$ to reszta Lagrange’a, o której kiedyś napiszę. Może nie jest to zbyt eleganckie, ale dla jasności możesz na początek przyjąć, że jest to 0.

Czyli przybliżając pewną funkcję wielomianem nieskończonego stopnia otrzymamy idealne przybliżenie funkcji np. sinus?

W praktyce wykorzystuje się wielomian skończonego stopnia, gdyż im większy wybierzemy stopnień tym więcej trzeba wykonać obliczeń.

Może wygląda trochę taśmiecowato, ale dla naszego przykładu będzie to (rozwijając wokół 45 stopni):

$sin(x)=sin(45^{\circ})+\frac{x-45^{\circ}}{1!}cos(45^{\circ})+\frac{(x-45^{\circ})^{2}}{2!}(-sin(45^{\circ}))+...$

a dokładniej
$sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}(x-45^{\circ})}{2}-\frac{\sqrt{2}(x-45^{\circ})^{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}(x-45^{\circ})^{3}}{12}+\frac{\sqrt{2}(x-45^{\circ})^{4}}{48}+...$

Uwaga Jeżeli dokonujemy rozwijania wokół argumentu $0$ to wówczas szereg Taylora nazywany jest szeregiem Maclaurina dla funkcji sinus ma postać

$sin(x)=0+x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
Częściej używane rozwinięcia
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$

W przykładach pojawiało się kąty 15 stopni i 72 stopni wartości funkcji sinus i kosinus dla tych argumentów można wyliczyć i wynoszą odpowiednio;

$sin(15^{\circ})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$cos(15^{\circ})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$sin(72^{\circ})=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$
$cos(72^{\circ})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$