Matematyka

        Do wzoru przyjmujemy Sposób na wyznaczanie kolejnych liczb Bernoulliego    

Mam nadzieje, że znasz symbol sumy , jeśli nie to podajmy ze przykłady i już wszystko będzie jasne.             Zamiast pisać długie tasiemce z kropkami krócej jest używać znaku sumy . Teraz do rzeczy weźmy sobie i rozpiszmy:             Teraz mamy przecież że    …

Ostatnio zaciekawiłem się formatem png a dokładniej pewną możliwością jakie ten format daje. Chodzi o to, że można w tym formacie zrobić animacje coś jak animacja w formacie gif. Animowany png jest kompatybilny ze zwykłym png. Jednak nie wszystkie przeglądarki i programy obsługują ten format. Czym się różni od gif tym, że nie ma ograniczenia…

Dlaczego nie warto grać w Lotto. Tak swoją drogą nie wiem czy wiesz, ale jakieś 80 – 90 % ludzi, którzy wygrali w totka po 3 – 5 latach zostaje bankrutami. Będzie mi bardzo miło jak zostawisz komentarz.

Będę bardzo wdzięczny za pozostawienie komentarza.

Jak Ci się podobało to napisz poniżej. Jak Ci się nie podobało to też napisz poniżej. 🙂

Opowiem Ci dziś o reprezentacji spektralnej lub jak kto woli Twierdzeniu spektralnym. Z tym, że ograniczę się dla prostoty tylko do macierzy. Pokaże Ci specjalną własność na przykładzie, a potem uogólnimy na szersze przypadki. PRZYKŁAD 1. Weźmy macierz, dla której zachodzi warunek . Macierz, która to spełnia nazywana jest to macierz normalną o współczynnikach rzeczywistych,…

Nim zaczniemy Powinneś zadać jedno mądre pytanie. 1. Do czego to jest potrzebne i gdzie się tego używa? Na dobrą sprawę w życiu każdego studenta/studentki kierunków ścisłych przychodzi moment kiedy słyszy o wektorach własnych i wartościach własnych. Ja osobiście usłyszałem o wektorach własnych i wartościach własnych na wielu przedmiotach. Między innymi na: algebrze i analizie…

Wzór Eulera wygląda następująco.     Mamy tu porównanie liczby zespolonej w postaci wykładniczej     o module równym 1. Z reprezentacją algebraiczną     Mamy zatem     moduł liczby zespolonej to     Jeżeli przyjmiemy, że weźmiemy liczbę o module 1, czyli     to uzyskamy:     Wzór Eulera mówi, że w…

1. Spojrzenie intuicyjne Co to w ogóle jest ? Mówiąc najprościej. Jest to parametr opisujący wielkość skrzywienia krzywej. Wychodząc od intuicyjnego spojrzenia na zagadnienie. Weźmy sobie okrąg o promieniu r. Okrąg jest wszędzie jednakowo zakrzywiony, czyli w każdym punkcie okręgu . Dlaczego pojawia się tu jeszcze wartość bezwzględna? Wyjaśnię to za chwilę. Chodzi o to,…

Ostatnio uczyłem się . No przy tej okazji uznałem, że dobrze było by coś konkretnego napisać. Napisałem zbiór wzorów funkcji odwrotnych do trygonometrycznych. Takie wzory trudno znaleźć z odpowiednimi założeniami. Tak czy inaczej, zachęcam do rzucenia okiem. Wzbogacone o ładne wykresy. kliknij na zdjęcie PDF, aby zobaczyć plik .pdf ze wzorami. Niech za przykład posłuży…

Obiecywałem w poprzednich postach opowiedzieć o reszcie Lagrange’a tak też zrobię. Zacznę od stwierdzenia, na którym zakończyłem parę wpisów wcześniej przy opisie wielomianów Taylora. Wielomian Taylora wraz z resztą Lagrange’a daje wzór Taylora. Kiedy rozwijamy funkcję w wielomian Taylora pewnego skończonego stopnia, powiedzmy do funkcji trzeciego stopnia, to reszta Lagrange’a będzie stopnia o 1 większym…

Nie będę przytaczał definicji, bo z łatwością znajdziesz ją w sieci. Mówiąc w największym skrócie jest to figura/obiekt, którego odpowiednie powiększenie jest podobne do obrazu początkowego, są po prostu samo-podobne. Przejdźmy do obrazków. Na pierwszy rzut idzie trójkąt Sierpińskiego Kolejny to Krzywa Kocha tutaj masz piękne drzewo, które rośnie!

Weźmy sobie jakąś krzywą zamkniętą, powiedzmy taką jak na rysunku obok. Następnie wybierzmy jakiś punktu, niech to będzie Postarajmy się obiec tą krzywą, ale patrząc z punktu widzenia tego wybranego punktu i sprawdźmy ile razy musimy się obrócić, aby ją obejrzeć. Żółta strzałka to miejsce, na które patrzymy. Poniżej przedstawiona jest animacja interpretując graficznie problem….

Zacznijmy od krótkiego przypomnienia zwykła pochodna. To iloraz różnicowy, który zbiega ze zmianą argumentu do 0 . Interpretację graficzną możesz zobaczyć poniżej. Czyli iloraz różnicowy przy zmianie argumentu dążącej do zera daje pochodną. lub jak wolisz , albo tak to jest wszystko jedno i to samo, gdzie: zmiana argumentu zmiana wartości funkcji, przy zmianie argumentu…

Jakiś czas temu było o wzorze Taylora dla jednej zmiennej. Rozważaliśmy wówczas pewną funkcję zmiennej , która była aproksymowana (przybliżana). Interpretacja graficzna była przedstawiona na płaszczyźnie, gdzie na jednej osi zaznaczony był argument funkcji (), a na drugiej osi wartość tej funkcji . To teraz będzie aproksymować funkcję dwóch zmiennych. Interpretacja przez analogie będzie obejmować…

Najpopularniejsza jest średnia arytmetyczna stosowałeś ją nie jednokrotnie. Przy liczeniu średniej ocen w szkole. Czyli dodawałeś wszystkie oceny, a następnie otrzymany wynik dzieliłeś przez ilość tych ocen. Zwrócę Twoją uwagę na fakt, że nie zawsze jest to średnia odpowiednia do danego problemu. Poniżej prezentuje interpretacje geometryczną średnich, ale tylko dla dwóch liczby. Zakładając, że te…

Powiem ci szczerze, gdy pierwszy raz usłyszałem o tym twierdzeniu na uczelni to nie wiele zrozumiałem. Dopiero po pewnym czasie przy okazji innych zagadnień rozkminiłem o co chodzi. Gdyby mi ktoś narysował takie rysunki w momencie bym zrozumiał o co chodzi. Polega to na tym, iż przybliżmy pewną funkcje przy pomocy funkcji wielomianowych. Poniższa animacja…

Zacznijmy od najprostszego. Równanie pierwszego stopnia (liniowe) gdzie oraz Filozofii to tu nie ma Równanie drugiego stopnia (kwadratowe) gdzie oraz są dwa rozwiązania gdzie Równanie trzeciego stopnia (sześcienne) tu nie będzie już tak łatwo gdzie , bo jeśli to nie jest to równanie sześcienne. Najpierw podzielmy przez , aby mieć przy najwyższej potędze niewiadomej. Zauważmy,…

Pamiętam, gdy pierwszy raz usłyszałem to hasło, byłem lekko mówiąc zmieszany. Mam pytanie jak rozwiązać takie równanie hm. tak właściwie to ono jest rozwiązane 🙂 To w takim razie jakie jest rozwiązanie takiego równania no też nie ma problemu A jakie będzie takiego równania? Powierz pewnie żaden problem No właśnie to nie do końca :-/…

To, że matematyka jest przepiękna to nie podlega wątpliwości. Istnieje pewien wzór, który uważany jest za najpiękniejszy. Jak to dziwo wygląda? A dlaczego właśnie taki wzór jest najpiękniejszy? – Ten wzór łączy ze sobą 5 najpopularniejszych stałych matematycznych definicje tych stałych – Do zapisu wykorzystano dokładnie raz takie działania jak: mnożenie, dodawanie i potęgowanie. Nie…

Złota proporcją interesowali się już starożytni można ja znaleźć w: starożytnych budowlach, w przyrodzie, długości odpowiednich paliczków są w złotej proporcji. Kartka do drukarki (A4) ma długości krawędzi w złotym stosunku. Złota proporcja jest definiowana następująco. Masz odcinek o pewnej długości i chcesz go tak podzielić, aby długość całego odcinka w stosunku do dłuższej części…

Skoro ostatnio opowiadałem o twierdzeniu o trzech ciągach to teraz opowiem o twierdzeniu o 2 ciągach. Jeśli ciąg dla indeksów ma wartości mniejsze od wartości ciągu oraz ciąg jest rozbieżny do , to również ciąg, musi być rozbieżny do . Analogiczne twierdzenie dla funkcji zamiast dla ciągów również jest prawdziwe. Graficzna interpretacja twierdzenia o 2…

No dobrze, ale jak się tego używa? Powiedzmy, że chcemy policzyć