Pochodna Diniego, każdy to może zrozumieć ! (Dini derivative)

Posted on by Mateusz Kowalski

Zacznijmy od krótkiego przypomnienia zwykła pochodna. To iloraz różnicowy, który zbiega ze zmianą argumentu do 0 \Delta x \rightarrow 0. Interpretację graficzną możesz zobaczyć poniżej.

iloraz różnicowy

Czyli iloraz różnicowy przy zmianie argumentu dążącej do zera daje pochodną.
\frac{dy}{dx}\stackrel{def}{:=} \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} lub jak wolisz f'(x)\stackrel{def}{:=} \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, albo tak f'(x)\stackrel{def}{:=} \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
to jest wszystko jedno i to samo, gdzie:
\Delta x =(x+h)-x=h zmiana argumentu
\Delta y =f(x+h)-f(x) zmiana wartości funkcji, przy zmianie argumentu

A ile wynosi pochodna funkcji f(x)=|x| dla argumentu 0?

Tu funkcja jest różniczkowalna wszędzie z wyjątkiem argumentu 0, czyli pochodna jest wszędzie oprócz argumentu 0. Jednak pochodna prawostronna istnieje oraz pochodna lewostronna.
Policzmy prawostronna f_{+}^{'}(x) \stackrel{def}{:=} \lim\limits_{h \to 0^{+}} \frac{|x+h|-|x|}{h}
f_{+}^{'}(0) \stackrel{def}{:=} \lim\limits_{h \to 0^{+}} \frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim\limits_{h \to 0^{+}} \frac{h}{h}=1

Policzmy lewostronną f_{-}^{'}(x) \stackrel{def}{:=} \lim\limits_{h \to 0^{-}} \frac{|x+h|-|x|}{h}
f_{-}^{'}(0) \stackrel{def}{:=} \lim\limits_{h \to 0^{-}} \frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim\limits_{h \to 0^{-}} \frac{-h}{h}=-1
Obie pochodne istnieją i są różne.

Inny Przykład weźmy funkcję f(x)=\left\{\begin{array}{l} -(x+2)^2+2 \hbox{ dla } x<-1\\x^3 \hbox{ dla } x>-1 \end{array}

pochodne lewostrona i prawostrona dla argumentu x=-1
lewostronna f_{-}^{\prime}(-1)=-2
prawostronna f_{+}^{\prime}(-1)=3
Jeżeli istniej pochodna to wówczas pochodne jednostronne będą sobie równe oraz ponadto będą równe tej pochodnej.
Ale nie na odwrót spójrz na rysunek

Czy istniej tu pochodna dla argumentu 0? Pochodne lewostronna i prawostronna są sobie równe i wynoszą 0 jednak pochodna w tym punkcie nie istnieje.

Powtórzę jeszcze raz jak istnieje pochodna w punkcie to pochodne lewostronna i prawostronna są sobie równe. Natomiast nieprawdą jest, że jak pochodna lewostronna jest równa pochodnej prawostronnej to istnieje pochodna w tym punkcie.

Tak na marginesie wynika to choćby z tego, żeby pochodna istniała w danym punkcie to funkcja musi być w tym punkcie chociaż ciągła.

Czy zatem dla każdej różniczkowalnej funkcji istnieje pochodna lewostronna i prawostronna?

Jak jest pochodna lewostronna dla argumentu 0?
Nie ma, gdyż nie ma „po czym” zbiegać do zera z lewej strony gdyż funkcja nie jest określona dla x\le 0.

A jak weźmiemy taką funkcję f(x)=\left\{\begin{array}{l} x\sin(\frac{1}{x}) \hbox{ dla } x\neq 0 \\0 \hbox{ dla } x=0 \end{array} to jaka jest pochodna lewostronna, a jak prawostronna w punkcie 0? Tak wygląda funkcja.

Tu już jest „poczym zbiegać”, ale …
Spróbujmy znaleźć np. prawostronną.

Czyli im bliżej tym bardziej pochodna „jest nie zdecydowana, bo częściej się waha”
Przyjrzyj się bliżej tej funkcji.

Zwróć uwagę, iż im jesteśmy bliżej argumentu 0 tym coraz bardziej wykres się zagęszcza. Jednak wszędzie jest ciągła. Jest ciągła również w punkcie (0,0), gdyż definicja ciągłości funkcji mówi \lim\limits_{x \to x_{0}^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to x_{0}^{-}} f(x)=f(x_{0}) w naszym przykładzie:
\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{+}} xsin(\frac{1}{x})=[0^{+}\cdot c]=0, bo c\in <-1,1>
analogicznie druga
\lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{-}} xsin(\frac{1}{x})=[0^{-}\cdot d]=0, bo d\in <-1,1>
f(0)=0
Jednak nie jest różniczkowalna dla argumentu 0,
W konsekwencji nie istnieje pochodna, co więcej nie istnieje także pochodna lewostronna ani prawostronna w punkcie (0,0). Cóż to za dziwadło?

Można pomyśleć że tu można skończyć rozważania. Jednak skoro jest po czym zbiegać to hm…
Okazuje się, że na tym się wcale nie musi kończyć spróbujmy przyjrzeć się problemowi szerzej.
A gdyby tak zbiegać po kresach górnych, dolnych i z prawej strony lub z lewej strony.
Spójrz na animacje zbiegania po kresach górnych z prawej strony.

Takie zbieganie nazywamy pochodną Diniego górną prawostronną.
Zatem możemy w ogólności wyróżnić 4 typy pochodnych Diniego.
D^{+}f(x) \stackrel{def}{:=} \limsup\limits_{h \to 0^{+}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} pochodna Diniego górna prawostronna
D_{+}f(x) \stackrel{def}{:=} \liminf\limits_{h \to 0^{+}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} pochodna Diniego dolna prawostronna
D^{-}f(x) \stackrel{def}{:=} \limsup\limits_{h \to 0^{-}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} pochodna Diniego górna lewostronna
D_{-}f(x) \stackrel{def}{:=} \liminf\limits_{h \to 0^{-}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} pochodna Diniego dolna lewostronna
Dla naszej funkcji mamy:
D^{+}f(0)=1
D_{+}f(0)=-1
D^{-}f(0)=-1
D_{-}f(0)=1

A teraz chcę Ci pokazać coś jeszcze. Przyjrzyjmy się teraz takiej funkcji f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2 \sin(\frac{1}{x^2}) \hbox{ dla } x\neq 0 \\0 \hbox{ dla } x=0 \end{array}

poszczególne pochodne Diniego
D^{+}f(0)=0
D_{+}f(0)=0
D^{-}f(0)=0
D_{-}f(0)=0

Okazuje Się funkcja ma pochodną dla argumentu x=0 czyli jest wszędzie różniczkowalna

Uwagi oczywistym jest, że jak pochodne Diniego prawostronne górna i dolna są równe to istniej pochodna prawostronna. Odpowiednio jak pochodne Diniego lewostronne górna i dolna są równe to istnieje pochodna lewostronna.

Zobacz animacje zwykłą pochodną dla tej ostatniej funkcji.

Jeżeli ten materiał Ci pomógł będę bardzo wdzięczny za komentarz. Jeśli ci się ten wpis nie podobał to również proszę o komentarz 🙂

Be Sociable, Share!

Comments

comments

3 thoughts on “Pochodna Diniego, każdy to może zrozumieć ! (Dini derivative)”

  2. Magda Kucharska

    Komentarz do przykładu z funkcją f(x)=x^2 dla x różnych od 0 i f(0)=1:
    granica lewo- i prawostronna ilorazu różnicowego w punkcie x=0 wynosi odpowiednio nieskończoność i minus nieskończoność, więc nieprawdą jest, że pochodne jednostronne w tym punkcie są równe 0. Zatem nie jest to dobry kontrprzykład. Zresztą takowy nie istnieje, bo to twierdzenie działa w obie strony.

    Odpowiedz
    • Mateusz Kowalski

      Dla funkcji f(x) = \begin{cases} x^2 & \mbox{ dla } x \neq 0 \\ 1 & \mbox{ dla } x = 0 \end{cases} granica lewostronna i prawostronna wynosi przecież 0. Biorąc jakie kolwiekotoczenie jednostronne o krańcu w 0 i wybierając jakikolwiek ciąg argumentów dążących do 0 wartości też będą dążyć do 0.

      Odpowiedz

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.