Suma kolejnych kwadratów (Sum of consecutive squares)

Mam nadzieje, że znasz symbol sumy $\sum$ , jeśli nie to podajmy ze $3$ przykłady i już wszystko będzie jasne.

$\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+4+\ldots+n$

$\sum_{k=1}^{n}1=\underbrace{1+1+1+1+\ldots+1}_{n\mbox{ jedynek}}$

$\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2$

Zamiast pisać długie tasiemce z kropkami krócej jest używać znaku sumy $\sum_{k=1}^{n}$ .
Teraz do rzeczy weźmy sobie $\sum_{k=1}^{n}k^2$ i rozpiszmy:

$\Z{\sum_{k=1}^{n}k^2} = 1+\sum_{k=2}^{n}k^2 = 1+\Y{\sum_{k=1}^{\R{n-1}}(k+1)^2} = 1+\Y{\sum_{k=1}^{\R{n}}(k+1)^2-(n+1)^2}=$

$=1-(n+1)^2+\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k+1)=1-(n+1)^2+\sum_{k=1}^{n}k^2+2\sum_{k=1}^{n}k+\B{\sum_{k=1}^{n}1}=$

$=1-n^2-2n-1+\sum_{k=1}^{n}k^2+2\sum_{k=1}^{n}k+\B{n} = -n^2-n+2\sum_{k=1}^{n}k + \Z{\sum_{k=1}^{n}k^2}$

Teraz mamy przecież że

$\Z{\sum_{k=1}^{n}k^2}=\Z{\sum_{k=1}^{n}k^2}-n^2-n+2\sum_{k=1}^{n}k$

A stąd

$\Z{0}=2\sum_{k=1}^{n}k-n^2-n$

przenosząc na drugą stronę wyłączając $n$ przed nawias i dzieląc obustronnie przez 2 otrzymujemy znany wzór na sumę ciągu arytmetycznego. 🙂

$\boxed{\R{\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n+1}{2}\cdot n}}$

No dobrze to skoro wychodząc od $\sum_{k=1}^{n}k^2$ dostaliśmy wzór na $\sum_{k=1}^{n}k$ to może wychodząc od $\sum_{k=1}^{n}k^3$ dostaniemy wzór na $\sum_{k=1}^{n}k^2$ , który nie jest już sumą ani ciągu arytmetycznego, ani geometrycznego. Zobaczmy co wyjdzie postąpmy analogicznie.