Indeks Punktu Względem Krzywej (Winding number)

Posted on by Mateusz Kowalski

Weźmy sobie jakąś krzywą zamkniętą, powiedzmy taką jak na rysunku obok. Następnie wybierzmy jakiś punktu, niech to będzie (x_{0},y_{0})=(-1,5 ; 1,5)

Postarajmy się obiec tą krzywą, ale patrząc z punktu widzenia tego wybranego punktu i sprawdźmy ile razy musimy się obrócić, aby ją obejrzeć. Żółta strzałka to miejsce, na które patrzymy. Poniżej przedstawiona jest animacja interpretując graficznie problem.

Kiedy podczas oglądania krzywej obrócimy się w prawo wówczas należy doliczyć 1 natomiast, kiedy odpowiednio obrócimy się w lewo wtedy należy odjąć 1.

Suma pełnych okrążeń w prawo minus suma pełnych okrążeń w lewo daje pewną liczbę w przykładzie powyżej jest to -2 (zero obrotów w prawo i 2 obroty w lewo). Tą liczbę nazywamy indeksem punktu względem krzywej. W naszym przykładzie zapisuje się to tak Ind_{\gamma}(-1,5 ; 1,5)=-2

Jest twierdzenie, które głosi, iż indeks punktu względem krzywej jest liczbą całkowitą dla krzywej zamkniętej.

Poniżej animacje dla indeksów innych punktu, względem tej samej krzywej.

Ind_{\gamma}(0 ; -0,25)=0

Ind_{\gamma}(1 ; -2)=-2

Przy okazji tego przykładu możesz zobaczyć wykresy zmiany kąta w trakcie obiegania oraz długości wektora na poniższym zdjęciu.

kolejny przykład

Ind_{\gamma}(0 ; 0)=0

A teraz przy tej samej krzywej, ale zorientowanej przeciwnie.

Ind_{\gamma}(-0,5 ; -1,5)=2

Ale do czego takie abstrakcyjne liczenie kółek się przydaję?

ZASTOSOWANIE
Okazuje się, że ma to zastosowanie. W automatyce na podstawie stabilności transmitancji (funkcji przenoszenia) układu otwartego można wnioskować o stabilności układu zamkniętego jednostkową ujemną pętlą sprzężenia zwrotnego. Licząc liczbę obrotów na wykresie Nequista wokół punktu (-1,i0).

Sprowadzając problem do aspektu matematycznego, załóżmy, że mamy jakieś G_{0}(s). Liczba niestabilnych (o dodatniej części rzeczywistej lub jak kto woli leżących w prawej półpłaszczyźnie) biegunów wynosi P. Jest pytanie jaka będzie liczba niestabilnych biegunów dla \frac{G(s)}{1+G(s)}. Otóż odpowiedź wcale nie musi być prosta, a często jest nawet trudna. Jednak wykorzystując indeks punktu względem krzywej można na ten problem odpowiedzieć.
Co warte uwagi nie wyznaczymy poszczególnych biegunów lecz będziemy znali tylko ich liczbę.

Analiza wygląda następująco:
Dane jest G_{0}(s)=\frac{20}{(s-1)(s+3)(s+4)}
Liczba niestabilnych biegunów wynosi 1 (P=1), bo tylko biegun (pierwiastek mianownika) s=1 ma cześć rzeczywistą dodatnią. A skąd weźmiemy krzywą? A no stąd. Mając G_{0}(s) i uwzględniając tylko zmienność po osi urojonej, czyli podstawiając s=i\omega, mamy G_{0}(i\omega)=\frac{20}{(i\omega-1)(i\omega+3)(i\omega+4)} wyznaczając cześć rzeczywistą i urojoną i przyporządkowując je w ten sposób x(\omega)=Re\{G(i\omega)\} oraz y(\omega)=Im\{G(i\omega)\} uzyskamy parametryzację krzywej. Każdy punkt krzywej jest podany przez \gamma: (x,y)=(x(\omega),y(\omega)), każdej \omega odpowiada jeden punkt krzywej. Zaś \omega zmienia się od -\infty do \infty

Tak na marginesie taki wykres nazywa się wykresem Nyquista. Liczba takich obiegów tej krzywej wokół punktu (-1,0i) dla \omega zmieniającej się od -\infty do \infty zgodnie z ruchem wskazówek zegara oznaczmy przez N. Zauważ, że N=-Ind_{\gamma}(-1 ; 0i). W naszym przypadku jest to N=-1. Wykonując prosty rachunek Z=N+P uzyskujemy Z. Teraz wartość Z mówi o liczbie biegunów w prawej półpłaszczyźnie zespolonej układu zamkniętego. Z=-1+1=0

Sprawdźmy, że rzeczywiście
Dla G_{0}(s)=\frac{20}{(s-1)(s+3)(s+4)} bieguny to:
1 \\ -3 \\ -4
Dla \frac{G_{0}(s)}{1+G_{0}(s)}=\frac{20}{(s-1)(s+3)(s+4)+20} bieguny to w przybliżeniu:
-5,34 \\ -0,33+1,18i \\ -0,33-1,18i
Czyli wszystko się zgadza.

Be Sociable, Share!

Comments

comments

5 thoughts on “Indeks Punktu Względem Krzywej (Winding number)”

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.