Opowiem Ci dziś o reprezentacji spektralnej lub jak kto woli Twierdzeniu spektralnym.
Z tym, że ograniczę się dla prostoty tylko do macierzy.
Pokaże Ci specjalną własność na przykładzie, a potem uogólnimy na szersze przypadki.
PRZYKŁAD 1.
Weźmy macierz, dla której zachodzi warunek . Macierz, która to spełnia nazywana jest to macierz normalną o współczynnikach rzeczywistych, ale do tego jeszcze dojdziemy. Masz zatem dla przykładu macierz
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2fef477924f695d9bfbd140dae253d41_l3.png)
Tak na marginesie to jest jeszcze szczególniejszy przypadek macierz normalnej rzeczywistej, gdyż jest to macierz symetryczna. Czyli

Wyliczasz wartości własne wychodzą takie , można to oczywiście zapisać tak
. Widać także, że każda lambda jest jednokrotna.
Obliczasz odpowiadające tym wartości własnym wektory własne o normie równej 1, czyli unormowane (bardzo ważne). A następnie dla tych wektorów odpowiadające projektory.
|
|
|
|
|
|
To co chcę Ci pokazać to że zajdzie taka równość:
Sprawdźmy czy rzeczywiście, zapisujemy zatem prawą stronę równości
Trzeba przyznać jest to dosyć ciekawe, że można macierz rozłożyć na składniki, w których odpowiednia lambda przemnożona przez odpowiedni projektor, daje tą macierz.
PRZYKŁAD 2.
Teraz dla takiej macierzy:
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7016771267fb4744123081595e2aefe6_l3.png)
Najpierw sprawdzamy czy spełniony jest warunek

![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbf{A}{{\mathbf{A}}^{T }}-{{\mathbf{A}}^{T}}\mathbf{A} = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]=](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d66f7f0ad5e9fc4fe05e0070ed855ee_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ = \left[ \begin{matrix} 4+1 & 2-2 \\ 2-2 & 4+1 \\ \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 4+1 & 2-2 \\ 2-2 & 4+1 \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]=\mathbf{0}](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b93a9a8524f2cd43ae58cd3cdda605e_l3.png)
Skoro zachodzi, to wyznaczamy równanie charakterystyczne.


wartości własne to oraz
1) dla mamy:
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[ \begin{matrix} i & -1 \\ 1 & i \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{v}_{1}} \\ {{v}_{2}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b5ed066431cdfc0bdf3cbf4114559f0_l3.png)
czyli spełnia to

![Rendered by QuickLaTeX.com {{\mathbf{w}}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ i \\ \end{matrix} \right]](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3282f9766fd50ccd7b64456b15534f8_l3.png)
Trzeba go unormować (skrócić do długości 1).

ale uwaga jest zespolony

![Rendered by QuickLaTeX.com \left\| {{\mathbf{w}}_{1}} \right\|=\sqrt{\mathbf{w}_{1}^{\dagger }{{\mathbf{w}}_{1}}}=\sqrt{\left[ \begin{matrix} 1 & -i \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 \\ i \\ \end{matrix} \right]}=\sqrt{2}](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f0a2d2a70de298d4493fea0616dd1b9_l3.png)
Co to jest ten krzyż ? To jest poprostu trazpozycja i sprzężenie, oczywiście w dowolnej kolejnosci.
Mówi się krótko, że jest to sprzężenie hermitowskie, a czyta (B z krzyżem).
2) dla jest, zaś:
czyli spełnia to , mamy wektor np.
![Rendered by QuickLaTeX.com {{\mathbf{w}}_{2}}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -i \\ \end{matrix} \right]](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c792571fa79b19db37a161e546e9e895_l3.png)

![Rendered by QuickLaTeX.com $\left\| {{\mathbf{w}}_{2}} \right\|=\sqrt{\mathbf{w}_{2}^{\dagger }{{\mathbf{w}}_{2}}}=\sqrt{\left[ \begin{matrix} 1 & i \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 \\ -i \\ \end{matrix} \right]}=\sqrt{2}](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb58d0651b52132e2b819d12662c0d2e_l3.png)
Liczymy projektory:
|
|
|
|
Sprawdzamy czy zachodzi ,
a zatem:
![Rendered by QuickLaTeX.com {{\lambda }_{1}}{{\mathbf{p}}_{2}}+{{\lambda }_{2}}{{\mathbf{p}}_{2}}=(2-i)\left[ \begin{matrix} 1 & -i \\ i & 1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{2}+(2+i)\left[ \begin{matrix} 1 & i \\ -i & 1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{2}=](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2f611046aa569b14547f39409f6ff3c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =\left[ \begin{matrix} 2-i+2+i & -2i-1+2i-1 \\ 2i+1-2i+1 & 2-i+2+i \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{2}=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]=\mathbf{A}](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0975d7b569e237f5229e0d347ce471a8_l3.png)
Rzeczywiście znowu zadziało. Pięknie wyszło prawda 🙂
TWIERDZENIE
Do tej pory mówiłem o warunku . Jednak warunek jest mniej rygorystyczny, gdyż wystarczy, że
Czyli macierz spełniająca ten warunek jest macierzą normalną
Sformułujmy twierdzenie spektralne
Macierz normalną można przedstawić w poniższej postaci.


nazywany jest projektorem lub rzutem albo projekcją. Wszystkie wektory są unormowane. n jest liczbą różnych wartości własnych,
jest krotnością
tej
Zachodzą także inne ciekawe zależności. oraz
.
To w dalszym ciągu nie jest ogólne twierdzenie. Twierdzenie w ogólności dotyczy operatorów liniowych nie koniecznie macierzy, jak również nie koniecznie operatorów dyskretnych jak macierz. Operator może być ciągły i wtedy zamiast sum są całki.
PRZYKŁAD 3.
Weźmy sobie macierz:
Sprawdzamy czy macierz jest normalna tzn. . Okazuje się, że tak.
Wartości własne to ,
W przypadku, gdyby dana wartość własna ma krotność większą niż 1. W tedy jej projektor to suma poszczególnych iloczynów wektorów własnych dla tej
1) dla
Jeden unormowany wektor własny to:
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbf{V}_{1}^{(1)}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -i \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{\sqrt{2}},](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fb7f869332494554a5c43c990f77897_l3.png)
a drugi wektor niezależny to:
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbf{V}_{1}^{(2)}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -i \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9456d980de36bf2058bf1f55fbea77d2_l3.png)
Obliczmy teraz projektor.

![Rendered by QuickLaTeX.com =\frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 \\ -i \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & i & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]+\frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -i \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & i \\ \end{matrix} \right]= \frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & i & 0 & 0 \\ -i & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & i \\ 0 & 0 & -i & 1 \\ \end{matrix} \right]](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f8b8820e33014f32a6652b82abe93ae_l3.png)
2) dla
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbf{V}_{2}^{(1)}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6425b395549ab13741b979ed6fa59d4f_l3.png)
i drugi wektor niezależny to:
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbf{V}_{2}^{(2)}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ i \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-678ddc235002536e812ba344c965e8db_l3.png)
projektor

![Rendered by QuickLaTeX.com =\frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & -i & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]+\frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ i \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & -i \\ \end{matrix} \right]=\frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & -i & 0 & 0 \\ i & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -i \\ 0 & 0 & i & 1 \\ \end{matrix} \right]](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ce6fbe5c565f7c3e2835bfa99bede837_l3.png)
Sprawdźmy czy tym razem też się uda i równość

![Rendered by QuickLaTeX.com {{\lambda }_{1}}{{\mathbf{p}}_{2}}+{{\lambda }_{2}}{{\mathbf{p}}_{2}}=i \cdot \frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & i & 0 & 0 \\ -i & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & i \\ 0 & 0 & -i & 1 \\ \end{matrix} \right]-i \cdot \frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & -i & 0 & 0 \\ i & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -i \\ 0 & 0 & i & 1 \\ \end{matrix} \right]=](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe66a70ec443ca73ff337cb6b11c303f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =\frac{1}{2} i \left[ \begin{matrix} 0 & 2i & 0 & 0 \\ -2i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2i \\ 0 & 0 & -2i & 0 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right] = \mathbf{A}](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d81c17a067a603c7212fd44fcb7753b6_l3.png)
Czyli znowu zadziałało 🙂
Wiadomości uzupełniające
definicja komutatora
Mówiąc komutator nie mam namyśli elementu np. silnika elektrycznego jak na poniższym zdjęciu 🙂

Tylko o komutator w kontekście matematyki
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[a,b \right] = ab-ba](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e5ba4748502e21dc352330af8a6f300_l3.png)
mówimy, że


![Rendered by QuickLaTeX.com \left[a,b \right]=0](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8097da7f690e9f1364d1f4df954b5ed_l3.png)
Zatem zamiast pisać, że mamy macierz normalną możemy równie dobrze powiedzieć, że mamy macierz, która komutuje ze swoim sprzężeniem hermitowskim co zapisujemy tak:
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[ \mathbf{A},\mathbf{A}^{\dagger} \right]=0](https://www.kowalskimateusz.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9c9036f27f9b6d40da16a64aba059d1_l3.png)
Macierz symetryczna to tak, która spełnia równość
Macierz hermitowska to tak, która spełnia równość
Macierz ortogonlana to tak, która spełnia równość
oczywiście z tego wynika także to
dlaczego? Bo wystarczy przemnożyć równanie lewostronnie przez , a potem prawostronnie przez
i dostaniemy ten drugi warunek.
Macierz unitarna to tak, która spełnia równość
oczywiście z tego wynika także to
co to projektor