Obiecywałem w poprzednich postach opowiedzieć o reszcie Lagrange’a tak też zrobię. Zacznę od stwierdzenia, na którym zakończyłem parę wpisów wcześniej przy opisie wielomianów Taylora. Wielomian Taylora wraz z resztą Lagrange’a daje wzór Taylora. Kiedy rozwijamy funkcję w wielomian Taylora pewnego skończonego stopnia, powiedzmy do funkcji trzeciego stopnia, to reszta Lagrange’a będzie stopnia o 1 większym…

Nie będę przytaczał definicji, bo z łatwością znajdziesz ją w sieci. Mówiąc w największym skrócie jest to figura/obiekt, którego odpowiednie powiększenie jest podobne do obrazu początkowego, są po prostu samo-podobne. Przejdźmy do obrazków. Na pierwszy rzut idzie trójkąt Sierpińskiego Kolejny to Krzywa Kocha tutaj masz piękne drzewo, które rośnie!

Weźmy sobie jakąś krzywą zamkniętą, powiedzmy taką jak na rysunku obok. Następnie wybierzmy jakiś punktu, niech to będzie Postarajmy się obiec tą krzywą, ale patrząc z punktu widzenia tego wybranego punktu i sprawdźmy ile razy musimy się obrócić, aby ją obejrzeć. Żółta strzałka to miejsce, na które patrzymy. Poniżej przedstawiona jest animacja interpretując graficznie problem….

Zacznijmy od krótkiego przypomnienia zwykła pochodna. To iloraz różnicowy, który zbiega ze zmianą argumentu do 0 . Interpretację graficzną możesz zobaczyć poniżej. Czyli iloraz różnicowy przy zmianie argumentu dążącej do zera daje pochodną. lub jak wolisz , albo tak to jest wszystko jedno i to samo, gdzie: zmiana argumentu zmiana wartości funkcji, przy zmianie argumentu…

Jakiś czas temu było o wzorze Taylora dla jednej zmiennej. Rozważaliśmy wówczas pewną funkcję zmiennej , która była aproksymowana (przybliżana). Interpretacja graficzna była przedstawiona na płaszczyźnie, gdzie na jednej osi zaznaczony był argument funkcji (), a na drugiej osi wartość tej funkcji . To teraz będzie aproksymować funkcję dwóch zmiennych. Interpretacja przez analogie będzie obejmować…

Najpopularniejsza jest średnia arytmetyczna stosowałeś ją nie jednokrotnie. Przy liczeniu średniej ocen w szkole. Czyli dodawałeś wszystkie oceny, a następnie otrzymany wynik dzieliłeś przez ilość tych ocen. Zwrócę Twoją uwagę na fakt, że nie zawsze jest to średnia odpowiednia do danego problemu. Poniżej prezentuje interpretacje geometryczną średnich, ale tylko dla dwóch liczby. Zakładając, że te…

Powiem ci szczerze, gdy pierwszy raz usłyszałem o tym twierdzeniu na uczelni to nie wiele zrozumiałem. Dopiero po pewnym czasie przy okazji innych zagadnień rozkminiłem o co chodzi. Gdyby mi ktoś narysował takie rysunki w momencie bym zrozumiał o co chodzi. Polega to na tym, iż przybliżmy pewną funkcje przy pomocy funkcji wielomianowych. Poniższa animacja…

Zacznijmy od najprostszego. Równanie pierwszego stopnia (liniowe) gdzie oraz Filozofii to tu nie ma Równanie drugiego stopnia (kwadratowe) gdzie oraz są dwa rozwiązania gdzie Równanie trzeciego stopnia (sześcienne) tu nie będzie już tak łatwo gdzie , bo jeśli to nie jest to równanie sześcienne. Najpierw podzielmy przez , aby mieć przy najwyższej potędze niewiadomej. Zauważmy,…

Pamiętam, gdy pierwszy raz usłyszałem to hasło, byłem lekko mówiąc zmieszany. Mam pytanie jak rozwiązać takie równanie hm. tak właściwie to ono jest rozwiązane 🙂 To w takim razie jakie jest rozwiązanie takiego równania no też nie ma problemu A jakie będzie takiego równania? Powierz pewnie żaden problem No właśnie to nie do końca :-/…

To, że matematyka jest przepiękna to nie podlega wątpliwości. Istnieje pewien wzór, który uważany jest za najpiękniejszy. Jak to dziwo wygląda? A dlaczego właśnie taki wzór jest najpiękniejszy? – Ten wzór łączy ze sobą 5 najpopularniejszych stałych matematycznych definicje tych stałych – Do zapisu wykorzystano dokładnie raz takie działania jak: mnożenie, dodawanie i potęgowanie. Nie…

Złota proporcją interesowali się już starożytni można ja znaleźć w: starożytnych budowlach, w przyrodzie, długości odpowiednich paliczków są w złotej proporcji. Kartka do drukarki (A4) ma długości krawędzi w złotym stosunku. Złota proporcja jest definiowana następująco. Masz odcinek o pewnej długości i chcesz go tak podzielić, aby długość całego odcinka w stosunku do dłuższej części…

Skoro ostatnio opowiadałem o twierdzeniu o trzech ciągach to teraz opowiem o twierdzeniu o 2 ciągach. Jeśli ciąg dla indeksów ma wartości mniejsze od wartości ciągu oraz ciąg jest rozbieżny do , to również ciąg, musi być rozbieżny do . Analogiczne twierdzenie dla funkcji zamiast dla ciągów również jest prawdziwe. Graficzna interpretacja twierdzenia o 2…

No dobrze, ale jak się tego używa? Powiedzmy, że chcemy policzyć

Figura została pocięta na mniejsze części, po czym ułożona została nowa figura. Jak to możliwe, że powstała ta dziura?

Cóż to takiego. Brzmi co najmniej dziwnie. Jest to naprawdę bardzo proste twierdzenie tak proste, że aż się możesz zdziwić co w nim takiego odkrywczego. A zatem do dzieła. Mam bardzo dobry przykład obrazujący to twierdzenie. Wyobraź sobie dwóch policjantów i siebie. Teraz zobacz jak jeden z tych policjantów idzie na posterunek. Potem zwróć uwagę,…

Legendę o Twórcy szachów można zobaczyć tu: liczba ziaren, które zażyczył sobie twórca oblicza się następująco szachownica ma 8 na 8 pól czyli 64 pola suma ziaren wynosi. Jest to ciąg geometryczny o ilorazie tzn, że każde następne pole ma razy więcej ziaren niż poprzednie. Wzór jest następujący U nas , bo tyle jest pól…

Zapiszmy takie równanie: . Jakkolwiek wygląda to dosyć osobliwie jest oczywiście prawdą. A teraz przekształćmy równanie nie wątpliwie dalej jest to prawda a teraz dzielimy przez zero (2-2) i co mamy? Otrzymaliśmy nieprawdę ! Co więcej nasze równanie można zapisać inaczej: i znów dzielmy przez zero i znów nieprawda. Dzielenie czegokolwiek przez zero jest nieoznaczone…

Prawdopodobnie już słyszałeś o tym, że w komputer posługuje się tylko dwiema cyframi. A mianowicie 0 i 1. Dla osób pierwszy raz to słyszących może się to wydawać dziwne. Jak mając tylko dwie cyfry można zapisywać i kodować wszystko? W największym skrócie 0 oznacza najczęściej brak napięcia, a 1 oznacza występowanie napięcia. System liczbowy jaki…