Nagranie 8

Ósma Lekcja Kursu Pochodnej

Praca domowa:

Zad 1.
Sprawdzić czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [-1,1].
a) f(x)=x(x^2-1)
b) f(x)=1-\sqrt[3]{x^2}
c) f(x)=(|x|-1)^2

Zad 2.
Zastosować twierdzenie Lagrange’a do funkcji f(x)=\operatorname{arcsin}x na przedziale [-1,1]. Wyznaczyć odpowiednie punkty.

Zad 3.
Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:
a) \frac{x}{x+1}<\ln (1+x) <x, dla x>0
b) e^x>1, dla x>0
c) e^x>ex, dla x>1
d) x \le \arcsin x \le \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, dla x\le x <1.

Zad 4.
Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a na przedzile [-1,1]. Narysować wykresy tych funkcji.
a) f(x)=\sin \pi x
b) f(x)=\sqrt{|x|}-1
c) f(x)=\frac{\pi}{4}-\operatorname{arctg}|x|

Zad 5.
Napisz równanie stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f(x)=(x+1)\sqrt[3]{3-x}, (-1,f(-1))
b) f(x)=x^x, (2,f(2))
c) f(x)=\frac{2x}{1+x^2}, (\sqrt{2},f(\sqrt{2}))
d) f(x)=\sqrt[x]{x}, (e,f(e))
e) f(x)=\frac{\ln x}{x}, (e,f(e))
f) f(x)=\operatorname{arctg}x^2, (0,f(0))
g) f(x)=\frac{e^x}{x+1}, (1,f(1))
h) f(x)=\operatorname{arctg}\frac{1-x}{1+x}, (1,f(1))

Zad 6.
Oblicz kąt, pod którym przecinają się wykresy funkcji
a) y=e^x, y=e^{-\sqrt{3}x}
b) y=x^2, y=\sqrt[3]{x}, x>0
c) y=4-x, y=4-\frac{x^2}{2}, x>0
d) Dla jakich wartości parametru a\in \mathbb{R}, wykresy funkcji y=e^{ax}, y=e^{-x} przetną się pod kątem prostym?

Be Sociable, Share!

One thought on “Nagranie 8

  1. Wydawać by się mogło, że trudne, ale to nieprawda. Rozumiem już w pełni pochodną i zawdzięczam to tylko i wyłącznie temu kursowi. Nie mogę się doczekać lekcji 9, bo chciałbym wiedzieć, o co właściwie chodzi w różniczce.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.