Nagranie 8

Ósma Lekcja Kursu Pochodnej

Praca domowa:

Zad 1.
Sprawdzić czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a na przedziale $[-1,1]$ .
a) $f(x)=x(x^2-1)$
b) $f(x)=1-\sqrt[3]{x^2}$
c) $f(x)=(|x|-1)^2$

Zad 2.
Zastosować twierdzenie Lagrange’a do funkcji $f(x)=\operatorname{arcsin}x$ na przedziale $[-1,1]$ . Wyznaczyć odpowiednie punkty.

Zad 3.
Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:
a) $\frac{x}{x+1}<\ln (1+x) <x$ , dla $x>0$
b) $e^x>1$ , dla $x>0$
c) $e^x>ex$ , dla $x>1$
d) $x \le \arcsin x \le \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ , dla $x\le x <1$ .

Zad 4.
Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a na przedzile [-1,1]. Narysować wykresy tych funkcji.
a) $f(x)=\sin \pi x$
b) $f(x)=\sqrt{|x|}-1$
c) $f(x)=\frac{\pi}{4}-\operatorname{arctg}|x|$

Zad 5.
Napisz równanie stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) $f(x)=(x+1)\sqrt[3]{3-x}$ , $(-1,f(-1))$
b) $f(x)=x^x$ , $(2,f(2))$
c) $f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ , $(\sqrt{2},f(\sqrt{2}))$
d) $f(x)=\sqrt[x]{x}$ , $(e,f(e))$
e) $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ , $(e,f(e))$
f) $f(x)=\operatorname{arctg}x^2$ , $(0,f(0))$
g) $f(x)=\frac{e^x}{x+1}$ , $(1,f(1))$
h) $f(x)=\operatorname{arctg}\frac{1-x}{1+x}$ , $(1,f(1))$

Zad 6.
Oblicz kąt, pod którym przecinają się wykresy funkcji
a) $y=e^x$ , $y=e^{-\sqrt{3}x}$
b) $y=x^2$ , $y=\sqrt[3]{x}$ , $x>0$
c) $y=4-x$ , $y=4-\frac{x^2}{2}$ , $x>0$
d) Dla jakich wartości parametru $a\in \mathbb{R}$ , wykresy funkcji $y=e^{ax}$ , $y=e^{-x}$ przetną się pod kątem prostym?

Be Sociable, Share!

One thought on “Nagranie 8”

Mikołaj Kuziuk

30 grudnia 2015 at 09:54

Wydawać by się mogło, że trudne, ale to nieprawda. Rozumiem już w pełni pochodną i zawdzięczam to tylko i wyłącznie temu kursowi. Nie mogę się doczekać lekcji 9, bo chciałbym wiedzieć, o co właściwie chodzi w różniczce.

Odpowiedz

Twoje Internetowe Wsparcie Matematyczne

One thought on “Nagranie 8”

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi