Jak obliczyć sumę 4 potęg pierwiastków równania 4 stopnia?

Posted on 26 sierpnia 2018 by Mateusz Kowalski

Zachodzi poniższy wzór, zresztą nie trudno go udowodnić.
$(a + b + c + d)^4 =a^4+b^4+c^4+d^4 + 4(a+b+c+d)^2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) - 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^2 - 4(a + b + c + d)(abc + abd + acd + bcd ) + 4abcd$
Wzór ten pozwala na obliczenie sumy czwartych potęg pierwiastków równania, bez rozwiązywania samego równania

$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + h = 0$

Mianowicie
$x_1^4 +x_2^4 +x_3^4 + x_4^4 = (x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^4 - 4(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^2(x_1x_2 +x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 ) + 2(x_1x_2 +x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 )^2 + 4(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 ) - x_1x_2x_3x_4$

Wykorzystując wzory Vièt’a

$x_1 +x_2 +x_3 + x_4 = \frac{-b}{a}$

$x_1x_2 +x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{c}{a}$

$x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4= \frac{-d}{a}$

$x_1x_2x_3x_4 = \frac{h}{a}$

Otrzymujemy :

$x_1^4 +x_2^4 +x_3^4 + x_4^4 = \frac{b^4 - 4ab^2c + 2a^2c^2 + 4a^2bd - 4a^3h}{a^4}$

Co to jest wyróżnik i co w istocie oznacza?

Posted on 26 sierpnia 2018 by Mateusz Kowalski

O Delcie słyszał prawie każdy, Wielu jest w stanie podać nawet wzór $\Delta = b^2-4ac$ , ale co ten wzór w istocie oznacza i jaki ma sens geometryczny?
Niewiele mniej osób słyszało, też o wyróżniku trójmianu kwadratowego, jednak nie słyszeli o innych wyróznikach i przez to skojarzyli to z $\Delta$ .

Kiedyś myślałem, że to w wyniku wyprowadzenia wzorów na rozwiązanie równania kwadratowego, wprowadza się dodatkowe oznaczenie pomocnicze.
Wydawało mi się, że tak się po prostu utarło, i że niektórzy zaczęli to nazywać wyróżnikiem.

$ax^2 + bx+c = 0$

$a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{ab^2}{4a^2} + c = 0$

$(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{ab^2-4a^2c}{4a^3}$

$x+\frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}$

$x =\frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}$

Jako, że i tak mamy dowolnosć znaku bo obie opcje rozważamy to znak przy a nie zmieni nic więc możemy opuścić wartość bezwzględna

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

i że dla wygody wprowadzono oznaczenie $\Delta = b^2-4ac$

Okazuje się że istnieje też wyróżnik dla równania 3 stopnia i innych. W tym momencie zaczyna nabierać sensu pytanie dlaczego właśnie taki ma mieć wzór, a nie inny