Pierwiastki z jedynki

Posted on 31 grudnia 2011 by Mateusz Kowalski

Pamiętam, gdy pierwszy raz usłyszałem to hasło, byłem lekko mówiąc zmieszany.

Mam pytanie jak rozwiązać takie równanie

$x=1$
hm. tak właściwie to ono jest rozwiązane 🙂

To w takim razie jakie jest rozwiązanie takiego równania

$x^{2}=1$
no też nie ma problemu
$x=1 \ lub \\ x=-1$

A jakie będzie takiego równania?

$x^{3}=1$
Powierz pewnie żaden problem $x=1$
No właśnie to nie do końca :-/
bo to jest jedno z 3 rozwiązań, które wyglądają tak
$x=1 \\ x=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2} \\ x=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$
Czymkolwiek jest pierwiastek z liczby ujemnej nie zmienia to faktu, że podstawiając obojętnie, która z tych liczb do równania, to równie zostanie spełnione.

Równanie 4 stopnia ma następujące rozwiązania

$x^{4}=1$
$x=1 \\ x=-1 \\ x=\sqrt{-1} \\ x=-\sqrt{-1}$

wzór ogólny

$x^{n}=1$
rozwiązaniem są następujące pierwiastki
$x_{k}=cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+isin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)=e^{\frac{2\pi i k}{n}},gdzie \ k=0,1,2,..,n-1$

Najpiękniejszy wzór matematyki

Posted on 30 grudnia 2011 by Mateusz Kowalski

To, że matematyka jest przepiękna to nie podlega wątpliwości. Istnieje pewien wzór, który uważany jest za najpiękniejszy. Jak to dziwo wygląda?

A dlaczego właśnie taki wzór jest najpiękniejszy?
– Ten wzór łączy ze sobą 5 najpopularniejszych stałych matematycznych $\pi, \ e, \ i, \ 1, \ 0.$
definicje tych stałych

$\pi\stackrel{def}{=}\frac{obwod \ kola}{srednica \ kola}$
$e\stackrel{def}{=}\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
$i^{2}\stackrel{def}{=}-1$
– Do zapisu wykorzystano dokładnie raz takie działania jak: mnożenie, dodawanie i potęgowanie. Nie ma takich działań jak dzielenie, pierwiastkowanie, odejmowanie czy chociażby logarytmowanie.
– Ponadto po jednej stronie równości jest $0$ .

Złota proporcja, złoty podział, ciąg Fibonacciego

Posted on 29 grudnia 2011 by Mateusz Kowalski

Złota proporcją interesowali się już starożytni można ja znaleźć w: starożytnych budowlach, w przyrodzie, długości odpowiednich paliczków są w złotej proporcji. Kartka do drukarki (A4) ma długości krawędzi w złotym stosunku.
Złota proporcja jest definiowana następująco. Masz odcinek o pewnej długości i chcesz go tak podzielić, aby długość całego odcinka w stosunku do dłuższej części po podziale miał się tak, jak dłuższa cześć do krótszej części. Długości odcinków muszą spełniać następujące równanie:

$\frac{odcinek}{dlusza \ czesc}=\frac{dlusza \ czesc}{krutsza \ czesc}$ .
Dla takich oznaczeń otrzymujesz następujące równanie:
złoty podział odcinka

$\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x}$
Gdybyś rozwiązał to równanie to otrzymał byś, że ten stosunek wynosi 1,618033988750
A dokładniej to
$\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,618$

Rozwiązanie
$\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x} \\ y^{2}=x^{2}+xy \\ y^{2}-xy-x^{2}$
Teraz np. zakładasz, że niewiadomą jest y (rozwiązujemy równanie względem y) i obliczasz wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę).
$\Delta=(-x)^{2}-4\cdot 1\cdot x^{2} \\ \Delta=5x^{2}\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{5}|x|$
$x>0$ bo oznacza długość odcinka, a długość jest zawsze dodatnia. Otrzymujesz, że $y$ wynosi:

$y_{1}=\frac{x+\sqrt{5}x}{2} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0 \\ y_{2}=\frac{x-\sqrt{5}x}{2} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ .
Odcinek $y$ także musi być dodatni, a z tego wynika, że stosunek wartości dodatnich $y/x$ także musi być dodatni. Odrzucamy rozwiązanie $y_{2}$
Złota proporcja ma ścisły związek z ciągiem Fibonacciego
Jest to taki ciąg, w którym wartość danego elementu jest równa sumie dwóch poprzednich.
ciąg przyjmuje wartości
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,...$
Stosunek danego wyrazu do poprzedniego jest w przybliżeniu w złotej proporcji. Przy czym to przybliżenie dąży idealnie do złotej proporcji im wyraz jest większy tym lepsze to przybliżenie.

$\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{1}{1}=1 \\ \frac{F_{3}}{F_{2}}=\frac{2}{1}=2 \\ \frac{F_{4}}{F_{3}}=\frac{3}{2}=1,5 \\ \frac{F_{5}}{F_{4}}=\frac{5}{3}\approx1,66 \\ \vdots \\ \frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{233}{144}\approx1,618056$

$\vdots$

$\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398875...$

Złota proporcja podobno występuje w przyrodzie, czyli także w zwierzętach w ciele ludzkim. Mówię podobno bo osobiście tego nie sprawdzałem 🙂
poniżej fotki jest tego przeogromna ilość.