Zacznijmy od najprostszego.
Równanie pierwszego stopnia (liniowe)
gdzie
oraz
Filozofii to tu nie ma
Równanie drugiego stopnia (kwadratowe)
gdzie
oraz
są dwa rozwiązania
gdzie
Równanie trzeciego stopnia (sześcienne)
tu nie będzie już tak łatwo
gdzie
, bo jeśli
to nie jest to równanie sześcienne.
Najpierw podzielmy przez , aby mieć przy najwyższej potędze niewiadomej.
Zauważmy, iż równanie można sprowadza się do równania postaci, w której nie ma składnika z niewiadomą w kwadracie
. Wystarczy podstawić za niewiadomą
nową niewiadomą
.
łącząc i grupując ze względu na potęgi
otrzymamy:
gdzie:
Mamy teraz do rozpatrzenia prostsze równanie 3 stopnia w postaci kanonicznej, z niewiadomą .
Nikt nie zabronić tej niewiadomej przedstawić w postaci sumy dwóch innych niewiadomych wielkości.
Wówczas
jest równe
Przekształcając równanie mamy
Równanie to ma taką samą postać jak nasze wejściowe kanoniczne, czyli
Można zatem utożsamić te równania ze sobą, a co za tym idzie wielkości
i
z danymi współczynnikami
i
.
Po co to robimy, bo i jest znane, ponieważ są zdeterminowane przez , które znamy. Natomiast kombinacja i to jest nasza niewiadomą, którą chcemy znaleźć, więc naszym celem jest “tylko” wyrazić i od tych znanych wielkości.
Co sprowadza się do układu równań.
Z pierwszego równania mamy
Wstawiamy do drugiego równania.
Mnożąc obustronnie przez
mamy równianie trikwadratowe, które sprowadzamy do równania kwadratowego poprzez podstawienie Przez to, że jest nieznane to teraz nową nieznaną jest
Zagadnienie sprawdziliśmy do równania kwadratowego postaci
Teraz bardzo ważne z delty będziemy liczyć pierwiastek, więc musimy
Skoro znamy
, to chcemy wrócić do
.
TERAZ UWAGA
Mamy niewiadomą w 3 potędze która jest równa liczbie rzeczywistej. Mamy więc 1 rozwiązanie rzeczywiste i 2 zespolone. Z pierwszym nie ma problemu, bo wystarczy tylko
. Natomiast aby znaleźć pozostałe to dobrze wykorzystać pierwiastki z jedynki.
Przypominamy, że jeśli mamy równanie to
gdzie
jest jednostką urojoną także, że
. Ile
jest równe? To jest dobre pytanie i od razu zaznaczam.
choć wiele osób tak uczy to jest to jawne nadużycie. Czym wówczas były by 3 różne jednostki urojone w kwaternionach, gdzie każda jest inna, oraz kwadrat każdej daje . Zostawmy to, jednak bo to inny temat i wróćmy do zadania.
Warto przy tym zdać sobie sprawę z
oraz
jaki i
Takie to ciekawe liczby, choć nie rzeczywiste to bardzo przydatne.
Wykorzystujac ten fakt łatwo rozwiąząć np.
Kończąc dygresję, u nas będzie.
Gdy znamy to wracamy do . Wyznaczyliśmy wcześniej, że
Zobaczmy ile wynosi
Wymiemy ile teraz wynosi
Puki co wydawać by się mogło że mamy 6 potencialnych rozwiązań bo jeszcze dowolność znaku . Jednak okazuje się, że rozwiązań może być co najwyżej 3, bo
oznacza
lub
a to jest to samo.
Mamy zatem końcowe wzory dla przypadku
————————————————————————–
————————————————————————–
Warto się jeszcze zastanowić Czy i mogą być kiedyś rzeczywiste okazuje się, że jest to możliwe tylko, gdy i wówczas i będzie to podwójny rzeczywisty pierwiastek, i innej opcji nie ma.
Spójrzmy na
Aby cześć urojona się wyzerował to
,
a to jest możliwe tylko gdy
Analogicznie dla
wówczas
Jeśli
jest równe
to wówczas mamy potrójny pierwiastek
Przejdźmy do sytuacji, gdy . Tutaj sprawa wygląda nieco inaczej.
Pierwszy wniosek na marginesie
Chcąc spierwiastkować liczbę ujemną musimy jej zmienić znak, aby była teraz dodatnia i można było ja spierwiastkować, a tę zmianę korygujemy przemnażając wynik przez , wówczas:
Teraz mamy do spierwiastkowania liczbę zespoloną, a nie rzeczywistą, więc “trick” z pierwiastkami z jedynki nie zadziała.
ponieważ bo
dodając i powstają końcowe wzory.
Warto spostrzec że znak kąta nie ma znaczenia dla kosinusa, więc można pominąć , ponieważ , czyli w naszym przypadku
jaki i
Mamy zatem końcowe wzory dla przypadku
————————————————————
————————————————————-
Zauważ, że w tym wypadku wszystkie 3 rozwiązania są rzeczywiste
Warto przekonać się, iż rozwiązaniem równania
jest
PODSUMOWANIE ALGORYTM DLA KOMPUTERA ROZWIĄZANIA OGÓLNEGO RÓWNANIA O WSPÓŁCZYNNIKACH RZECZYWISTYCH
Aby rozwiązać
Obliczmy
if to
else if UWAGA NA DOKŁADNOŚĆ KOMPUTEROWYCH OBLICZEŃ PORÓWNANIA Warto dla lepiej badać , które jest przemnożeniem delty przez i korzystamy tu ze źródłowych danych
else if to
słaby ze względu na nie dokładności numeryczne, może powodować dla kątów bliskich i , czyli gdy zwielokrotnienie błędu niedokładności.
Uwaga na bliskie zeru, wówczas lepiej użyć wzoru szarego na . Ponadto jeśli i są bliskie , a to ma miejsce przy dużym to wówczas lepiej wzoru, bazującego na źródłowych danych czyli po przekształceniu
end
Równanie czwartego stopnia
Tu będzie jeszcze trudniej, ale jeszcze można.
gdzie
Zamieniajmy niewiadomą
na niewiadomą
w taki sposób.
Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia.
Zróbmy rachunki pomocnicze
Podstawiamy do równania i uprośćmy
Dodając z lewej i prawej strony równania
Teraz dodając z lewej i prawej strony pewną niewiadomą wartość , a dokładniej
Z lewej strony równania mam kwadrat to z prawej też musi być kwadrat, aby równianie było prawdziwe. Skoro tak to z prawej strony musi być , czyli podwójny pierwiastek, więc równania kwadratowego ze względu na , (bo jest niewiadomą), po prawej stronie musi być równa
czyli
Chcąc znaleźć niewiadomą
, dla której ten warunek, czyli to równianie będzie spełnione musimy rozwiązać równie
stopnia ze względu na
Po znalezieniu rozwiązań, których liczba to 1, 2 lub 3, znamy wartość
ponieważ trójmian kwadratowy z deltą równą 0 można zapisać tak
Przekształcając i odejmując obustronie prawą stronę otrzymamy
Mamy tutaj różnicę dwóch kwadratów , czyli
Teraz aby znaleźć , bo już znamy trzeba rozwiązać równie kwadratowe.
W związku z tym, że znak dodania lub odjęcia nie jest zależy od wyboru pozostałych znaków, to dla porządku oznaczyłem go przez
Wydawać by się mogło, że mamy zatem aż 2 razy 2 razy 3 czyli 12 kandydatów na rozwiązanie ogólnego równania 4 stopnia. Natomiast w ogólnej sytuacji mamy 8 możliwych opcji.
1) brak rozwiązań
2) 1 rozwiązanie podwójne
3) 2 rozwiązania pojedyncze
4) 2 rozwiązania podwójne
5) 2 rozwiązania pojedyncze i 1 podwójne
6) 1 rozwiązanie pojedyncze i 1 potrójne
7) 4 pojedyncze
8) 1 rozwiązanie poczwórne
Choć ze względu na liczbę pierwiastków licząc także krotność to mamy albo 0 pierwiastków albo 2 albo 4.
Równanie piątego stopnia i wyższych
gdzie
to stopień równania
“Problem rozwiązalności takich równań badany był od końca XVI wieku, gdy matematycy włoscy podali wzory na rozwiązania równań stopni 3 i 4. Zmagali się z nim Bézout, Euler i Lagrange, jednak dopiero Paolo Ruffini wpadł na pomysł, by udowodnić, że w przypadku równań stopnia wyższego niż 4 odpowiednie wzory nie istnieją. Opublikowany przez niego w roku 1799 dowód twierdzenia (Ruffini podał pięć dowodów) zawierał pewne nieścisłości i został zignorowany przez społeczność matematyków – być może przyczyną był fakt, że Ruffini był także lekarzem. W pełni zadowalający dowód opublikował w roku 1824 Niels Henrik Abel, został on następnie uproszczony w roku 1845 przez Pierre’a Wantzela. Jednak znacznie głębsza analiza problemu zawarta jest w pracach Évariste’a Galois pod postacią teorii Galois.” źródło
Wikipedia
źródła:
Matematyka.pl
Wikipedia