styczeń, 2014 | Kowalski Mateusz.pl

Twoje Internetowe Wsparcie Matematyczne

Skip to content
  • KURSY
  • Polecane
  • O Mateuszu
  • Galeria
  • Projekty
  • Kontakt
  • Macierze
  • Archiwum

Month: styczeń 2014

Suma kolejnych liczb naturalnych w ustalonej potędze

Posted on 7 stycznia 2014 by Mateusz Kowalski

    \begin{alignat*}{5} & \sum_{k=1}^{n} 0 			&=& \underbrace{0+0+0+0+\ldots +0}_{n \mbox{ zer}} &=& 0 &&\\ & \sum_{k=1}^{n} 1 			&=& \underbrace{1+1+1+1+\ldots +1}_{n \mbox{ jedynek}} &=& n &&\\ & \sum_{k=1}^{n} k 			&=& 1+2+3+4+\ldots +n &=& \RO{\frac{n^2+n}{2}} &&  \\ & \sum_{k=1}^{n} k^{\Z{2}} 	&=& 1^{\Z{2}}+2^{\Z{2}}+3^{\Z{2}}+4^{\Z{2}}+\ldots +n^{\Z{2}} &=& \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}&& \\ & \sum_{k=1}^{n} k^{\B{3}} 	&=& 1^{\B{3}}+2^{\B{3}}+3^{\B{3}}+4^{\B{3}}+\ldots +n^{\B{3}} &=& \left( \RO{\frac{n^2+n}{2}}\right)^2&&   \\ & \G{\sum_{k=1}^{n} k^{\BR{4}}} &=& \G{1^{\BR{4}}+2^{\BR{4}}+3^{\BR{4}}+4^{\BR{4}}+\ldots +n^{\BR{4}}} &=& \G{\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}&&  \\ & \G{\sum_{k=1}^{n} k^{\Y{5}}} &=& \G{1^{\Y{5}}+2^{\Y{5}}+3^{\Y{5}}+4^{\Y{5}}+\ldots +n^{\Y{5}}} &=& \G{\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}}&&  \\ & \qquad \vdots      && \qquad\vdots               && \qquad \vdots &&  \end{alignat*}

    \[\G{\sum_{k=1}^{n} k^p=\frac{1}{p+1}\left(n^{p+1}+{p+1 \choose 1}B_1n^p + {p+1 \choose 2}B_2n^{p-1} + \ldots {p+1 \choose p}B_pn^p \right)}\]

Do wzoru przyjmujemy B_1=\R{+}\frac{1}{2}

Sposób na wyznaczanie kolejnych liczb Bernoulliego

    \[B_n=\sum_{k=0}^n\sum_{v=0}^k(-1)^v\binom kv\frac{v^n}{k+1} \qquad \mbox{ w konwencji }B_1=\R{-}\frac{1}{2}\]

Posted in Matematyka
Leave a comment

Polub To

Bądź na bieżąco

Imię: *
Email: *

Polecane Strony

jkraus.pl
iautomatyka.pl/
laboratorium_automatyki/

Ostatnie wpisy

  • Live z generacji dźwięku oraz FFT
  • Torus płaski
  • Algorytm CORDIC – Odcinek 3
  • Algorytm CORDIC – Odcinek 2
  • Algorytm CORDIC – Odcinek 1

Kategorie

  • Bez kategorii
  • Matematyka

Polityka cookies i linki

Polityka cookies
Linki
  • Twitter
  • Facebook
  • linkedin
  • google plus

Kowalski Mateusz.pl

© All rights reserved.

Powered by WordPress

Archives

  • październik 2021
  • wrzesień 2021
  • kwiecień 2021
  • marzec 2021
  • listopad 2020
  • październik 2020
  • marzec 2020
  • luty 2020
  • październik 2018
  • sierpień 2018
  • maj 2018
  • kwiecień 2018
  • marzec 2018
  • luty 2018
  • styczeń 2018
  • listopad 2017
  • październik 2017
  • sierpień 2017
  • maj 2017
  • luty 2017
  • styczeń 2017
  • październik 2016
  • sierpień 2016
  • czerwiec 2016
  • maj 2016
  • kwiecień 2016
  • marzec 2016
  • luty 2016
  • listopad 2015
  • październik 2015
  • sierpień 2015
  • lipiec 2015
  • czerwiec 2015
  • maj 2015
  • kwiecień 2015
  • marzec 2015
  • luty 2015
  • styczeń 2015
  • grudzień 2014
  • listopad 2014
  • październik 2014
  • wrzesień 2014
  • sierpień 2014
  • lipiec 2014
  • czerwiec 2014
  • maj 2014
  • kwiecień 2014
  • marzec 2014
  • luty 2014
  • styczeń 2014
  • grudzień 2013
  • sierpień 2013
  • czerwiec 2013
  • maj 2013
  • kwiecień 2013
  • marzec 2013
  • luty 2013
  • grudzień 2012
  • wrzesień 2012
  • sierpień 2012
  • lipiec 2012
  • czerwiec 2012
  • styczeń 2012
  • grudzień 2011
  • wrzesień 2011
  • sierpień 2011
  • lipiec 2011

Meta

  • Zaloguj się

Archives

  • Archiwum
  • Macierze
  • Wsparcie
  • KURSY
    • testowaa
  • Polecane
  • O Mateuszu
  • Galeria
  • Projekty
  • Kontakt
  • Współpraca
Po Co Są Równania w Matematyce?

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Po Co Są Równania w Matematyce?

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Dobry Algorytm Na Równanie 3 Stopnia

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Dobry Algorytm Na Równanie 3 Stopnia

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Jak Dopasować Sinusoidę Do Danych?

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Jak Dopasować Sinusoidę Do Danych?

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Jak Zrozumieć Wzór Taylora?

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Jak Zrozumieć Wzór Taylora?

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Lepiej żębyś o tym wiedział

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci


Lepiej żębyś o tym wiedział

Wpisz swój Email, aby Zobaczyć nagranie




Twoje dane są 100% bezpieczne.
Polityka Prywatnosci