Jak znaleźć funkcję daną parametrycznie, czyli w sposób typowy dla krzywych?
Wielomianowa krzywa Béziera o punktach kontrolnych
Ma wzór parametryczny
gdzie
Szukamy wzoru
Aby wyznaczyć w zależności od
należy rozwiązać równanie 3 stopnia z parametrem
Wzór na
Rozwiązaniem równanie
Mamy już teraz na funkcję
Skąd wiem, że jest funkcją
?
bo funkcja jest rosnąca, to zaś wiadomo, ponieważ
W istocie , ta funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, a skoro współczynnik przy
jest dodatni, to
co należało pokazać.
Istnieje zatem funkcja odwrotna
Jak wstawić do funkcję
?
Jako że teraz będziemy wstawiać za do wzoru funkcji
, a tam pojawia się
i
, to obliczmy je na boku.
Potrzebne nam będą wzory skróconego mnożenia
Zastosujmy i obliczmy
Wzór funkcji jest blisko
oraz
Wzór funkcji
Co nam to dało?
Oba opisy krzywej są nieunormowane, lecz
Możliwość aproksymacji wzorem Taylora
Możliwość łatwego równomiernego próbkowania – co ma walory praktyczne
Ogólniej
Jakby ktoś chciał spróbować to może podjąć wyzwanie wyznaczenia wzoru krzywej Beziera 3 stopnia zdeterminowanej przez punkty kontrolne ogólnie
Dla ułatwienie podam, że wzór parametryczny takiej krzywej to
gdzie oraz
, takie że
Dodam, że teraz zadanie jest dużo trudniejsze.