Obliczanie nietypowej granicy funkcji

Obliczanie nietypowej granicy funkcji. Nietypowej po z dwoma parametrami.

Zadanie
Zadanie polega na znalezieniu takich $a$ i $b$ , aby zachodziła równość

$\lim_{x \to \infty} = \left( \sqrt{x^2-x+1} - ax -b \right) = 0$

Rozwiąznaie
Pierwsze co możemy spostrzec to, a nie może być ujemne bo wówczas będziemy mieć

$\infty + \infty -b=0$

nie ma takiego $b$ jak stałej liczby, aby mogło skompensować te nieskończoności.
Ponadto nie może być też 0, bo wówczas jest podobny problem. Pojawia się pytanie czy

$\lim_{x \to \infty} 0\cdot x = 0$

Tak jest to prawda nie jest to symbol nie oznaczony bo zero po po prostu jest nie jest osiągane w trakcie brania coraz to większego x, tylko cały czas jest “czystym” zerem
Wynika stąd, że $a>0$ wprawdzie nie będzie nam to potrzebne, ale warto zauważyć

To co zatem robimy to przekształcamy

$\lim_{x \to \infty} \left( x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-ax-b \right)$

a następnie

$\lim_{x \to \infty} \left( x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a\right)-b \right)$

granica różnicy to różnica granic

$\lim_{x \to \infty} \left( x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a\right)\right) -\lim_{x \to \infty} b$

granica przy $x \to \infty$ z czegoś co nie zależy od $x$ jest dalej tym czymś, tzn.

$\lim_{x \to \infty} b = b$

Przenosząc do prawą stronę utworzymy

$\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a\right) = b$

Aby iloczyn czegoś co dąży do nieskończoności z czymś dał w wyniku skończoną wielkość, to tym czymś musi być coś co da symbol nieoznaczony. Tak więc wniosek, że tym czymś jest $0$