1991 Rok – Zadanie z Matury Rozszerzonej z Matematyki

Czy matura kiedyś naprawdę była tak trudna? Zobacz przykładowe zadanie z matury rozszerzonej z roku 1991.

Zadanie

Wyznacz sumę rozwiązań wszystkich pierwiastków równania.

    \[2^{\cos ^2 x } + 2^{\sin ^2 x} = 3\]

Dla x\in(0,315^{\circ})

Rozwiązanie
Wykorzystując jedynkę trygonometryczną można zapisać:

    \[2^{\cos ^2 x } + 2^{1- \cos ^2 x} = 3\]

Wykorzystując wzór na iloczyn funkcji wykładniczych o tej samej podstawie można zapisać:

    \[2^{\cos ^2 x } + 2\cdot 2^{- \cos ^2 x} = 3\]

Zawsze możemy przemnożyć równanie obustronnie przez 2^{\cos^2 x}

    \[2^{\cos ^2 x }\cdot 2^{\cos ^2 x } + 2\cdot 2^{- \cos ^2 x}\cdot 2^{\cos ^2 x } = 3 \cdot 2^{\cos ^2 x }\]

Korzystając ponownie ze wzoru na iloczyn funkcji wykładniczych o tej samej podstawie mamy

    \[\left( 2^{\cos ^2 x }\right)^2 + 2\cdot 2^{0} =  3 \cdot 2^{\cos ^2 x }\]

Przenieśmy wszystko na lewą stronę

    \[\left( 2^{\cos ^2 x }\right)^2 + 2\cdot 2^{0} -  3 \cdot 2^{\cos ^2 x } = 0\]

Teraz, wykonajmy podstawienie 2^{\cos ^2 x} = t. Zamiast równania a z niewiadomą x mamy równanie z niewiadomą t To sprawi, że powstanie nam teraz równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą t.

    \[t^2 -  3 t + 2 = 0\]

Obliczmy wyróżnik trójmianu kwadratowego, potocznie zwanego deltą

    \[\Delta = (-3)^2-4(1\cdot 2)=9-8= 1 \qquad \qquad \Rightarrow \qquad \qquad \sqrt{\Delta} = \sqrt{1}=1\]

    \[t_1 = \frac{3-1}{2}=1\]

    \[t_2 = \frac{3+1}{2}=2\]

Każdemu z osobna t_1 jak i t_2 przypisaliśmy 2^{\cos ^2 x}.
Jeden to inaczej 2 do potęgi 0, czyli 1=2^0
Podobnie 2 to inaczej 2 do potęgi 1, czyli 2 =2^1, tak więc mamy,

    \[2^0 = 2^{\cos ^2 x}\]

    \[2^1 = 2^{\cos ^2 x}\]

Funkcja wykładnicza jest monotoniczna, różnowartościowa, więc

    \[0 =\cos ^2 x\]

    \[1 = \cos ^2 x\]

Sprowadziliśmy zadanie do obliczenia dwóch łatwych równań trygonometrycznych.
Z pierwszego wynika, że

    \[x = \frac{\pi}{2} + k\pi\]

Z drugiego natomiast, że

    \[x = k\pi,\]

gdzie rzecz jasna k to dowolna liczba całkowita, tzn. k\in \ZZ
W zasadzie te dwa rozwiązania można połączyć w jedno i powiedzieć

    \[x = \frac{k\pi}{2}\]

Teraz tylko biorąc pod uwagę założenie z treści zadania x\in(0,315^{\circ}), mamy

    \[x\in \{ 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ} \}\]

Lub jeśli ktoś woli w mierze łukowej (radialnej)

    \[x\in \{ 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ} \}\]

Na koniec pozostało policzyć sumę rozwiązań

    \[S_x = 540^{\circ }\]

lub mierze łukowej

    \[S_x = 3\pi\]

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.