Poglądowo o Analizie Matematycznej i Algebrze Liniowej

W nawiązaniu do poprzedniego wpisu, w tym zajmiemy się trochę głębiej Analiza Matematyczna. Cały czas pozostajemy na powierzchniowym poziomie.

Upraszczając głównymi obiektami badań są w niej ciągi i funkcje. Do tego dochodzą pojęcia pokrewne, takie jak granica ciągu, granica funkcji, pochodna, całki.

Pojęcie granicy pozwala nam na wyznaczanie czy i gdzie znajdują się asymptoty pionowe, ukośne i poziome. W zasadzie to poziome asymptoty są szczególnym przypadkiem asymptot ukośnych.
Dopowiem, to co powinno być oczywiste, możemy to wyznaczyć nie dysponując wykresem tej funkcji, ale tylko samym wzorem analitycznym.

Na podstawie pojęcie granicy funkcji budujemy kolejne pojęcie, czyli definiujemy pochodną funkcji.
Pochodna funkcji pozwala nam na określanie, gdzie dokładnie funkcja rośnie, gdzie maleje, gdzie znajdują się maksima i minima lokalne. Pozwala także stwierdzić, gdzie jest punkt przegięcia oraz gdzie funkcja jest wypukła a gdzie wklęsła, a nawet wskazać miejsce, gdzie funkcja jest najbardziej zakrzywiona lub najmniej. Pochodna pozwala także na obliczanie trudniejszych granic, korzystając z Reguła de l’Hospitala

Czynnością w drugą stronę względem pochodnej jest całka nieoznaczona. Rachunek Całkowy bardzo często używamy przy rozwiązywaniu równań różniczkowych.

Większość czasu Analizy Matematycznej zostanie poświęcone Całką. Jest ich dość dużo. Całki oznaczone, całki niewłaściwe, całki podwójne, całki potrójne, całki wielokrotne, całki krzywoliniowe, całki powierzchniowe i całki zespolone. Są jeszcze inne np. Całka Lebesgue’a, ale to już materiał dla matematyków.

Warto wspomnieć także i o szeregach, są to ciągi powstające z innych ciągów jako sumy częściowe. W teorii szeregów bardzo dużo uwagi poświęca się ich sumą, tzn. czy taka suma istnieje. Idąc oczko dalej mogą pojawić się szeregi funkcyjne czyli takie, gdzie elementami ciągów nie są „pojedyncze” liczby, ale „całe” funkcje.

Równania różniczkowe należy zaliczyć do Analizy Matematycznej. Jest to ogromny dział, dlatego bardzo często będzie to oddzielny przedmiot. W „zwykłym” równaniu szukamy liczby, która wstawiona za słynny x sprawi, że równanie będzie spełnione. W równaniach różniczkowych zamiast niewiadomej x jako pojedynczej liczby są całe „funkcje” y=f(x). Rozwiązywaniem równania różniczkowego jest „cała” funkcja y=f(x).

Jednak tu wypada coś dopowiedzieć, bo do tego opisu pasują równania funkcyjne. Nas natomiast interesuje tylko wyjątkowa podgrupa równań funkcyjnych zwana równaniami różniczkowymi. Każde równania różniczkowe jest równaniem funkcyjnym. Wprawdzie niektórzy wyróżniają równania różniczkowe-funkcyjne, ale w moim odczuciu nie jest to najlepsza nazwa. Lepiej nazywać je z równaniami różniczkowymi z opóźnionym argumentem, ale to już są zagadnienia dla studiujących matematykę.

Nie każde równania różniczkowe da się rozwiązać, mimo to, że rozwiązanie może istnieć. Na dobrą sprawę większości równań różniczkowych nie potrafimy rozwiązać, albo wręcz wiemy, że się ich nie da rozwiązać.
Początkowa nauka równań różniczkowych to nauka klasycznych typów równań, które da się rozwiązać.

W praktyce jednak będziesz miał(a) do czynienia z tymi niefajnymi równaniami i z konieczności będzie trzeba stosować metody przybliżone, ale to także oddzielny przedmiot zwany metodami numerycznymi.
Nie jest to takie proste i trzeba wiedzieć co się robi, bo znalezione rozwiązanie może być kompletnie inne od prawdziwego. Zanim jednak zabierzesz się za takie równania różniczkowe wypada trochę poćwiczy tych prostszych.

Pewnie brzmi to dla Ciebie strasznie, to tylko wspomnę, że są np. nierówności różniczkowe – to dla matematyków. Tylko pewne wąskie klasy równań różniczkowy da się rozwiązać. Innych wiemy że się nie da, a o jeszcze innych nie wiem czy się da. Z powodu tych ograniczeń powstała także jakościowa teoria równań różniczkowych, gdzie formułuje się stwierdzenia typu:
„Jeżeli coś tam, to istnieje rozwiązanie”
„Jeżeli coś tam, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie”
„Jeżeli coś tam, to nie istnieje rozwiązanie”
Bez rozwiązywania samego równania, ale to już bardziej dla matematyków. Czy jest to przydatne? Tak bo jeśli możemy stwierdzić, że rozwiązanie jest to jest sens go szukać metodami przybliżonymi. Jeśli wiemy, że rozwiązania nie ma to nie będziemy go szukać.

Są też równania różniczkowe cząstkowe, bo nikt nie powiedział, że funkcja musi mieć jeden argument.

Wróćmy tu zatem do funkcji, ale dwóch zmiennych. A to jest dosyć prawdopodobne, że się z tym spotkasz na kierunkach technicznych.
Czym są pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)?
Czym jest różniczkowanie funkcji f(x,y), dla kogoś kto nie zna odpowiedzi, odpowiedź może być zaskakująca, bo nie jest intuicyjna?

Od równań różniczkowych można pójść w inną stronę mianowicie w rachunek wariacyjny, gdzie szuka się ekstremów funkcji, której argumentami są inne funkcje. Tego w prostszym kursie matematyki raczej nie będziesz mieć.

Podobnie do działu analizy matematycznej można zaliczyć także Probabilistykę. Ale to również bardzo często będzie oddzielny przedmiot. Probabilistyka, czyli teoria prawdopodobieństwa. Raczej mało prawdopodobne, że w ramach analizy będziesz mieć probabilistykę.

Algebra liniowa
Drugim z podstawowych przedmiotów z jakim z pewnością będziesz miał(a) styczność to Algebra Liniowa. A w zasadzie czymś co jest na wstępnie do algebry liniowej czyli rachunkiem macierzowym. Raczej na pewno będziesz poruszał: wielomiany, liczby zespolone, rachunek macierzowy, układ równań liniowych oraz Geometrię analityczną 2D i 3D.

Właściwa Algebra liniowa to pojęcia kombinacji liniowych, liniowej zależności i niezależność, przestrzenie liniowe i podprzestrzenie. Chodzi tu o poruszanie się w abstrakcyjnej przestrzeni, która bardzo często nie ma interpretacji geometrycznej. Garść kolejnych pojęć to otoczki liniowe, Bazy, sumy proste przestrzeni, przekształcenia liniowe, jądra przekształcenia liniowego, obrazy przekształcenia liniowego.

Idąc dalej ogólny iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe i unitarne, ortogonalność, ortogonalizacja Grama-Schmidta, formy liniowe, formy dwuliniowe, formy kwadratowe, formy hermitowskie

Szanse na wystąpienie „właściwej” algebry liniowej na kierunkach technicznych oceniam pół na pół.

Przechodzimy do Algebry abstrakcyjnej. Mogą pojawić się też elementy algebra abstrakcyjnej (to nie należy do algebry liniowej, a przynajmniej nie w całości). Ważniejsze pojęcia to grupa, półgrupa, podgrupy, monoidy, pierścienie, ideały, Ciała, Ciała liczbowe.
Bardziej zaawansowane to grupy ilorazowe, pierścienie ilorazowe

Wróćmy jednak do macierzy, bo tego będzie dosyć sporo, gdyż macierzy na okrągło używamy w inżynierii.
Chcę Ci powiedzieć, że to względnie prosty i schematyczny dział, a przynajmniej podstawy.
Zaczynając od najprostszych: macierz kwadratowa, prostokątna, stopień macierzy, dodawanie macierzy, mnożenie macierzy, macierz przeciwna.
Podstawowe typy macierzy jak jednostkowa, trójkątna górna, trójkątna dolna, diagonalna,
Dalsze ważniejsze pojęcia to wyznacznik macierz, ślad macierzy, minor, dopełnienie macierzy,
rozwiązywanie układów równań liniowych, odwracanie macierzy, rozwiązywanie układów równań, wektory i wartości własne, macierz obrotu.
Diagonalizacja macierzy, dodatnia określoność macierzy itp.

Rozkład Jordana macierzy będzie już raczej omijany bo to jest mocno skomplikowane.

To w największym skrócie było by tyle.

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.