Zadanie Do Poduszki, Obliczanie Nietypowej Granicy, Matematyka

Obliczanie nietypowej granicy funkcji. Nietypowej po z dwoma parametrami.

Zadanie
Zadanie polega na znalezieniu takich a i b, aby zachodziła równość

    \[\lim_{x \to \infty} = \left( \sqrt{x^2-x+1} - ax -b \right) = 0\]

Rozwiąznaie
Pierwsze co możemy spostrzec to, a nie może być ujemne bo wówczas będziemy mieć

    \[\infty + \infty -b=0\]

nie ma takiego b jak stałej liczby, aby mogło skompensować te nieskończoności.
Ponadto nie może być też 0, bo wówczas jest podobny problem. Pojawia się pytanie czy

    \[\lim_{x \to \infty} 0\cdot x = 0\]

Tak jest to prawda nie jest to symbol nie oznaczony bo zero po po prostu jest nie jest osiągane w trakcie brania coraz to większego x, tylko cały czas jest „czystym” zerem
Wynika stąd, że a>0 wprawdzie nie będzie nam to potrzebne, ale warto zauważyć

To co zatem robimy to przekształcamy

    \[\lim_{x \to \infty} \left( x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-ax-b  \right)\]

a następnie

    \[\lim_{x \to \infty} \left( x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a\right)-b  \right)\]

granica różnicy to różnica granic

    \[\lim_{x \to \infty} \left( x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a\right)\right) -\lim_{x \to \infty} b\]

granica przy x \to \infty z czegoś co nie zależy od x jest dalej tym czymś, tzn.

    \[\lim_{x \to \infty}  b = b\]

Przenosząc do prawą stronę utworzymy

    \[\lim_{x \to \infty}  x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a\right) = b\]

Aby iloczyn czegoś co dąży do nieskończoności z czymś dał w wyniku skończoną wielkość, to tym czymś musi być coś co da symbol nieoznaczony. Tak więc wniosek, że tym czymś jest 0

    \[\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a\right)=0\]

To jest jedyna możliwość na uzyskanie symbolu nieoznaczonego, tzn.

    \[\infty \cdot 0 \mbox{ symbol nieoznaczony}\]

A stąd już krótko wynika, że a = 1.
Teraz pytanie co z b?
Musimy wrócić niejako do pierwszego równania z podstawionym a=1

    \[\lim_{x \to \infty} = \left( \sqrt{x^2-x+1} - x  \right) = b\]

Obliczmy teraz tylko już granicę

    \[\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2-x+1} - x  \right)=\]

    \[=\lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt{x^2-x+1} - x  \right)\left( \sqrt{x^2-x+1} + x  \right)}{\left( \sqrt{x^2-x+1} + x  \right)} =\]

    \[=\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+1-x^2}{\left( \sqrt{x^2-x+1} + x  \right)} =\]

    \[=\lim_{x \to \infty} \frac{-1 + \frac{1}{x} }{1+ \sqrt{1-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} } =\]

    \[=\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{1+1} = \frac{-1}{2}= b\]

Odpowiedź końcowa a =1 i b=-\frac{1}{2}

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.