Jak obliczyć sumę 4 potęg pierwiastków równania 4 stopnia?

Posted on by Mateusz Kowalski

Zachodzi poniższy wzór, zresztą nie trudno go udowodnić.
(a + b + c + d)^4 =a^4+b^4+c^4+d^4 + 4(a+b+c+d)^2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) - 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^2 - 4(a + b + c + d)(abc + abd + acd + bcd ) + 4abcd
Wzór ten pozwala na obliczenie sumy czwartych potęg pierwiastków równania, bez rozwiązywania samego równania

    \[ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + h = 0\]

Mianowicie
x_1^4 +x_2^4 +x_3^4 + x_4^4 = (x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^4 - 4(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^2(x_1x_2 +x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 ) + 2(x_1x_2 +x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 )^2 + 4(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 ) - x_1x_2x_3x_4

Wykorzystując wzory Vièt’a

    \[x_1 +x_2 +x_3 + x_4 = \frac{-b}{a}\]

    \[x_1x_2 +x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{c}{a}\]

    \[x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4= \frac{-d}{a}\]

    \[x_1x_2x_3x_4 = \frac{h}{a}\]

Otrzymujemy :

    \[x_1^4 +x_2^4 +x_3^4 + x_4^4 = \frac{b^4 - 4ab^2c + 2a^2c^2 + 4a^2bd - 4a^3h}{a^4}\]

Be Sociable, Share!

Comments

comments

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.