Macierz Obrotu Wokół Dowolnej Osi o Dowolny Kąt w Przestrzeni 3D

Dany jest punkt $P$ o współrzędnych $P=(P_x,P_y,P_z)$ . Wykonujemy obrót tego punktu wokół dowolnej osi zorientowanej tak jak wektor $\vec{n}=[a,b,c]$ . Wektor ten jest wektorem jednostkowym, tzn $|\vec{n}|=1$ . Oś obrotu przechodzi przez początek układu współrzędnych. Obrót wykonamy o kąt skierowany $\varphi$ . Aby dokonać takiego obrotu trzeba wykonać następujące mnożenie.

$\mathbf{P}^{\prime} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{P},$

gdzie punkt $P$ zapiszemy na potrzeby rachunku macierzowego w postaci takiej $\mathbf{P} = \begin{bmatrix} P_x \\ P_y \\P_z \end{bmatrix}$ , wektor $\vec{n}$ zapiszemy podobnie jako $\mathbf{n}=\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ . Natomiast macierz $\mathbf{M}$ ma następującą postać.

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a^2(1-\cos \varphi) + \cos \varphi & ab(1-\cos \varphi) - c\sin \varphi & ac(1-\cos \varphi) + b\sin \varphi \\ ab(1-\cos \varphi) + c\sin \varphi & b^2(1-\cos \varphi) + \cos \varphi & bc(1-\cos \varphi) - a\sin \varphi \\ ac(1-\cos \varphi) - b\sin \varphi & bc(1-\cos \varphi) + a\sin \varphi & c^2(1-\cos \varphi) + \cos \varphi\end{bmatrix}$

Można to także zapisać skrótowo.

$\mathbf{M} = \mathbf{n} \mathbf{n}^T(1-\cos \varphi) + \mathbf{I}\cos \varphi +\begin{bmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{bmatrix}\sin \varphi$