Macierz Obrotu Wokół Dowolnej Osi o Dowolny Kąt w Przestrzeni 3D

Posted on by Mateusz Kowalski

Obrót punktu lub wektora wokół dowolnej osi w przestrzeni 3D

Dany jest punkt P o współrzędnych P=(P_x,P_y,P_z). Wykonujemy obrót tego punktu wokół dowolnej osi zorientowanej tak jak wektor \vec{n}=[a,b,c]. Wektor ten jest wektorem jednostkowym, tzn |\vec{n}|=1. Oś obrotu przechodzi przez początek układu współrzędnych. Obrót wykonamy o kąt skierowany \varphi. Aby dokonać takiego obrotu trzeba wykonać następujące mnożenie.

    \[\mathbf{P}^{\prime} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{P},\]

gdzie punkt P zapiszemy na potrzeby rachunku macierzowego w postaci takiej \mathbf{P} = \begin{bmatrix} P_x \\ P_y \\P_z \end{bmatrix}, wektor \vec{n} zapiszemy podobnie jako \mathbf{n}=\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}. Natomiast macierz \mathbf{M} ma następującą postać.

    \[\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a^2(1-\cos \varphi) + \cos \varphi & ab(1-\cos \varphi) - c\sin \varphi & ac(1-\cos \varphi) + b\sin \varphi \\ ab(1-\cos \varphi) + c\sin \varphi & b^2(1-\cos \varphi) + \cos \varphi & bc(1-\cos \varphi) - a\sin \varphi \\ ac(1-\cos \varphi) - b\sin \varphi & bc(1-\cos \varphi) + a\sin \varphi & c^2(1-\cos \varphi) + \cos \varphi\end{bmatrix}\]

Można to także zapisać skrótowo.

    \[\mathbf{M} = \mathbf{n} \mathbf{n}^T(1-\cos \varphi) + \mathbf{I}\cos \varphi +\begin{bmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{bmatrix}\sin \varphi\]

Obejrzyj w wersji wideo poniżej.
Continue reading →

Wyrażenie Algebraiczne i Jednomian

Posted on by Mateusz Kowalski

Wyrażenie algebraiczne, jednomian - algebra

Wyrażenie algebraiczne to pewna konfiguracja stałych i zmiennych połączonych przez działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, ale również potęgowanie i pierwiastkowanie.

    \[+ \qquad - \qquad \cdot \qquad : \qquad ^{\square} \qquad \sqrt[\square]{\quad}\]

Do tego dochodzą jeszcze nawiasy pozwalające na zmianę kolejności działań. Co ważne to, aby to wyrażenie miało sens i było skończone.

Przykłady

    \[3x, \quad x, \quad 4x^2, \quad -7,31\sqrt{x}-x^8, \quad \frac{x}{x+\sqrt[3]{x}}, \quad x^e, \quad x^{\frac{1}{\pi}}, \quad x^x, \quad x^{x^x}, \quad \ldots, \quad x\cdot \log 2\]

Nie musi to być jedna zmienna, może ich być więcej

    \[\sqrt{x^2 +y^2}, \quad \frac{x}{\sqrt[x]{1+xy}}\]

Jak równie dobrze może ich wcale nie być

    \[0 , \quad 7\]

Dla kontrastu przykłady, które nie są wyrażeniami algebraicznymi.

    \[\sin(x+y), \qquad \log x, \qquad +:-4, \qquad )\cdot 4 -(\]

Jednomian to wyrażenie algebraiczne pewnej szczególnej postaci, dokładniej to takiej.

    \[ a \cdot x^n,\]

gdzie a\in \RR jest konkretną daną stałą liczbą. n \in \NN \cup \{ 0 \}. Natomiast to czym jest x zależy już od konkretnego kontekstu.

a nazywamy współczynnikiem jednomianu
n nazywamy stopniem jednomianu
x zmienną jednomianu

Oczywiście jednomian może mieć więcej niż jedną zmienną. Dla dwóch zmiennych będzie to wyglądać tak:

    \[ a \cdot x^ny^m\]

Stopnie jednomianu jest wówczas suma wykładników przy zmiennych, czyli n+m
Zmiennych może być jeszcze więcej, jak tu:

    \[ a \cdot x_{1}^{n_1}x_{2}^{n_2}x_{3}^{n_3}\ldots x_{r}^{n_r}\]

Stopniem takiego jednomianu będzie suma n_{1}+n_2+n_3+\ldots n_r

Continue reading →

Trygonometria i Zmiany w Definicjach Funkcji Trygonometrycznych

Posted on by Mateusz Kowalski

Odnośniki do poprzednich odcinków Trygonometrii w Krzywym Zwierciadle.
Odcinek 1.
https://www.kowalskimateusz.pl/beda-zmiany-w-ksiazkach-trygonometria/
Odcinek 2.
https://www.kowalskimateusz.pl/matematyka-trygonometria-tego-w-szkole-ci-nie-powiedza/

W tym nagraniu poznasz przejście pomiędzy trygonometria kąta ostrego i trygonometrią kąta rozwartego. Poznasz przy okazji kąt skierowany, który może być dodatni lub ujemny. Jest to zatem kąt dowolny.
Pojawią się wzory redukcyjne oraz podane zostaną definicje funkcji trygonometryczny kąta skierowanego w układzie współrzędnych