Twierdzenie spektralne (Spectral theorem)

Posted on 7 marca 2013 by Mateusz Kowalski

Opowiem Ci dziś o reprezentacji spektralnej lub jak kto woli Twierdzeniu spektralnym.
Z tym, że ograniczę się dla prostoty tylko do macierzy.

Pokaże Ci specjalną własność na przykładzie, a potem uogólnimy na szersze przypadki.

PRZYKŁAD 1.
Weźmy macierz, dla której zachodzi warunek $\mathbf{A}{{\mathbf{A}}^{T}}={{\mathbf{A}}^{T}}\mathbf{A}$ . Macierz, która to spełnia nazywana jest to macierz normalną o współczynnikach rzeczywistych, ale do tego jeszcze dojdziemy. Masz zatem dla przykładu macierz

$\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$
Tak na marginesie to jest jeszcze szczególniejszy przypadek macierz normalnej rzeczywistej, gdyż jest to macierz symetryczna. Czyli ${{\mathbf{A}}^{T}}=\mathbf{A}$

Wyliczasz wartości własne wychodzą takie $\begin{matrix} {{\lambda }_{1}}=1 \\ {{\lambda }_{2}}=3 \\ {{\lambda }_{3}}=-4 \\ \end{matrix}$ , można to oczywiście zapisać tak $\left\{ {{\lambda }_{i}} \right\}_{i=1}^{3}=\{1,3,-4\}$ . Widać także, że każda lambda jest jednokrotna.
Obliczasz odpowiadające tym wartości własnym wektory własne o normie równej 1, czyli unormowane (bardzo ważne). A następnie dla tych wektorów odpowiadające projektory.

${{\mathbf{V}}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]\frac{1}{\sqrt{10}}$

${{\mathbf{p}}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{10}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 9 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{10}$

${{\mathbf{V}}_{2}}=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]\frac{1}{\sqrt{14}}$

${{\mathbf{p}}_{2}}=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 3 & 2 & -1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{14}=\left[ \begin{matrix} 9 & 6 & -3 \\ 6 & 4 & -2 \\ -3 & -2 & 1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{14}$

${{\mathbf{V}}_{3}}=\left[ \begin{matrix} -3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]\frac{1}{\sqrt{35}}$

${{\mathbf{p}}_{2}}=\left[ \begin{matrix} -3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} -3 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{35}=\left[ \begin{matrix} 9 & -15 & -3 \\ -15 & 25 & 5 \\ -3 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \frac{1}{35}$

To co chcę Ci pokazać to że zajdzie taka równość: Continue reading →

Wektory i wartości własne (Eigenvalues and eigenvectors)

Posted on 2 lutego 2013 by Mateusz Kowalski

Nim zaczniemy Powinneś zadać jedno mądre pytanie.

1. Do czego to jest potrzebne i gdzie się tego używa?
Na dobrą sprawę w życiu każdego studenta/studentki kierunków ścisłych przychodzi moment kiedy słyszy o wektorach własnych i wartościach własnych. Ja osobiście usłyszałem o wektorach własnych i wartościach własnych na wielu przedmiotach.
Między innymi na: algebrze i analizie liniowej, podstawach automatyki, procesach losowych i sterowaniu stochastycznym, identyfikacji procesów, nowoczesnych metodach teorii sterowania, sterowaniu cyfrowym, równaniach różniczkowych, geometrii różniczkowej.

Na sterowaniu świat się nie kończy. Założę się, że na innych kierunkach techniczny na pewno także się to wykorzystuje, przykłady: W celu diagonalizacji macierzy, by potem móc np. łatwo potęgować macierz, do pierwiastkowania macierzowego albo podnoszenie e do potęgi macierzowej. W PCA, które zaś jest używa np. do kompresji sygnałów. W algorytmie ICA, czyli przy rozkładaniu mieszani na sygnały oryginalne. W fizyce i chemii kwantowej. W badaniu stabilności układów dynamicznych. Google wykorzystuje przy ocenianiu strony – page rank (ranking stron).
I wiele wiele innych nie sposób tu tego wymienić. Także naprawdę jest to bardzo ważne i użyteczne.

2. Co robi odwzorowanie dane macierzą? Continue reading →

Interpretacja wzoru Eulera (Euler’s formula)

Posted on 8 grudnia 2012 by Mateusz Kowalski

Wzór Eulera wygląda następująco.

$\boxed{e^{it}=\cos t + i \sin t}$

Mamy tu porównanie liczby zespolonej w postaci wykładniczej

$z= |z| \cdot e^{i \arg z}$

o module równym 1. Z reprezentacją algebraiczną

Mamy zatem

$|z| \cdot e^{i \arg z}=a + bi$

moduł liczby zespolonej to

$|z| =\sqrt{a^2 + b^2}$

Jeżeli przyjmiemy, że weźmiemy liczbę o module 1, czyli

to uzyskamy:

$e^{i \arg z} =a + bi$

Wzór Eulera mówi, że w tym przypadku a i b musi być równe.

$a= \cos(\arg z)$

$b=\sin(\arg z)$

Poniżej prezentuje animacje w jasny sposób obrazująca cała tą tożsamość.

Continue reading →

Krzywizna Krzywej (Curvature)

Posted on 25 września 2012 by Mateusz Kowalski

1. Spojrzenie intuicyjne

Co to w ogóle jest ?
Mówiąc najprościej. Jest to parametr $\kappa$ opisujący wielkość skrzywienia krzywej.

Wychodząc od intuicyjnego spojrzenia na zagadnienie. Weźmy sobie okrąg o promieniu r. Okrąg jest wszędzie jednakowo zakrzywiony, czyli w każdym punkcie okręgu $|\kappa| =\frac{1}{r}$ .
Dlaczego pojawia się tu jeszcze wartość bezwzględna? Wyjaśnię to za chwilę. Chodzi o to, że znak krzywizny krzywej o czymś mówi, ale do tego dojdziemy.

Jednocześnie domyślamy się, że prosta będzie miała krzywiznę krzywej równą 0, bo nie jest ani trochę skrzywiona jest w końcu prostą.

Okej mamy główny zarys, wiadomo z grubsza o co chodzi, więc jedziemy dalej.
Continue reading →

Wzory Cyklometryczne Kołowe

Posted on 15 sierpnia 2012 by Mateusz Kowalski

Ostatnio uczyłem się $\LaTeX$ . No przy tej okazji uznałem, że dobrze było by coś konkretnego napisać. Napisałem zbiór wzorów funkcji odwrotnych do trygonometrycznych. Takie wzory trudno znaleźć z odpowiednimi założeniami. Tak czy inaczej, zachęcam do rzucenia okiem. Wzbogacone o ładne wykresy.