Reszta Lagrange’a we wzorze Taylora

Posted on by Mateusz Kowalski

Obiecywałem w poprzednich postach opowiedzieć o reszcie Lagrange’a tak też zrobię.
Zacznę od stwierdzenia, na którym zakończyłem parę wpisów wcześniej przy opisie wielomianów Taylora.
Wielomian Taylora wraz z resztą Lagrange’a daje wzór Taylora.

Kiedy rozwijamy funkcję w wielomian Taylora pewnego skończonego stopnia, powiedzmy do funkcji trzeciego stopnia, to reszta Lagrange’a będzie stopnia o 1 większym czyli 4.
Weźmy funkcję sin x i rozwińmy ją w wielomian Taylora do stopnia 3 wokół punktu x_0=0 (czyli rozwinięcie Maclaurina). Rysunek prezentuje takie rozwinięcie.

Continue reading →

Fraktal (Fractal)

Posted on by Mateusz Kowalski

Nie będę przytaczał definicji, bo z łatwością znajdziesz ją w sieci. Mówiąc w największym skrócie jest to figura/obiekt, którego odpowiednie powiększenie jest podobne do obrazu początkowego, są po prostu samo-podobne.
Przejdźmy do obrazków. Na pierwszy rzut idzie trójkąt Sierpińskiego

Kolejny to Krzywa Kocha

tutaj masz piękne drzewo, które rośnie!
Continue reading →

Indeks Punktu Względem Krzywej (Winding number)

Posted on by Mateusz Kowalski

Weźmy sobie jakąś krzywą zamkniętą, powiedzmy taką jak na rysunku obok. Następnie wybierzmy jakiś punktu, niech to będzie (x_{0},y_{0})=(-1,5 ; 1,5)

Postarajmy się obiec tą krzywą, ale patrząc z punktu widzenia tego wybranego punktu i sprawdźmy ile razy musimy się obrócić, aby ją obejrzeć. Żółta strzałka to miejsce, na które patrzymy. Poniżej przedstawiona jest animacja interpretując graficznie problem.

Kiedy podczas oglądania krzywej obrócimy się w prawo wówczas należy doliczyć 1 natomiast, kiedy odpowiednio obrócimy się w lewo wtedy należy odjąć 1.
Continue reading →

Pochodna Diniego, każdy to może zrozumieć ! (Dini derivative)

Posted on by Mateusz Kowalski

Zacznijmy od krótkiego przypomnienia zwykła pochodna. To iloraz różnicowy, który zbiega ze zmianą argumentu do 0 \Delta x \rightarrow 0. Interpretację graficzną możesz zobaczyć poniżej.

iloraz różnicowy

Czyli iloraz różnicowy przy zmianie argumentu dążącej do zera daje pochodną.
\frac{dy}{dx}\stackrel{def}{:=} \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} lub jak wolisz f'(x)\stackrel{def}{:=} \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, albo tak f'(x)\stackrel{def}{:=} \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
to jest wszystko jedno i to samo, gdzie:
\Delta x =(x+h)-x=h zmiana argumentu
\Delta y =f(x+h)-f(x) zmiana wartości funkcji, przy zmianie argumentu

A ile wynosi pochodna funkcji f(x)=|x| dla argumentu 0?
Continue reading →

Wzór Taylora dla dwóch i więcej zmiennych

Posted on by Mateusz Kowalski

Jakiś czas temu było o wzorze Taylora dla jednej zmiennej. Rozważaliśmy wówczas pewną funkcję zmiennej x, która była aproksymowana (przybliżana). Interpretacja graficzna była przedstawiona na płaszczyźnie, gdzie na jednej osi zaznaczony był argument funkcji (x), a na drugiej osi wartość tej funkcji f(x).

To teraz będzie aproksymować funkcję dwóch zmiennych. Interpretacja przez analogie będzie obejmować przestrzeń gdyż: na jednaj osi będzie współrzędna x, na drugiej osi będzie współrzędna y, a na trzeciej wartość funkcji f(x,y).

Weź na początek funkcję f(x,y)=cos(x^2+y^2)

Wygląda ona następująco

dla funkcji jednej zmiennej rozwijaliśmy funkcję wokół pewnego punktu (x,f(x)) np. (45^{\circ},sin(45^{\circ})). Teraz będziemy rozwijać wokół punktu(x,y,f(x,y)).
Continue reading →