Złota proporcja, złoty podział, ciąg Fibonacciego

Posted on 29 grudnia 2011 by Mateusz Kowalski

Złota proporcją interesowali się już starożytni można ja znaleźć w: starożytnych budowlach, w przyrodzie, długości odpowiednich paliczków są w złotej proporcji. Kartka do drukarki (A4) ma długości krawędzi w złotym stosunku.
Złota proporcja jest definiowana następująco. Masz odcinek o pewnej długości i chcesz go tak podzielić, aby długość całego odcinka w stosunku do dłuższej części po podziale miał się tak, jak dłuższa cześć do krótszej części. Długości odcinków muszą spełniać następujące równanie:

$\frac{odcinek}{dlusza \ czesc}=\frac{dlusza \ czesc}{krutsza \ czesc}$ .
Dla takich oznaczeń otrzymujesz następujące równanie:
złoty podział odcinka

$\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x}$
Gdybyś rozwiązał to równanie to otrzymał byś, że ten stosunek wynosi 1,618033988750
A dokładniej to
$\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,618$

Rozwiązanie
$\frac{x+y}{y}=\frac{y}{x} \\ y^{2}=x^{2}+xy \\ y^{2}-xy-x^{2}$
Teraz np. zakładasz, że niewiadomą jest y (rozwiązujemy równanie względem y) i obliczasz wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę).
$\Delta=(-x)^{2}-4\cdot 1\cdot x^{2} \\ \Delta=5x^{2}\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{5}|x|$
$x>0$ bo oznacza długość odcinka, a długość jest zawsze dodatnia. Otrzymujesz, że $y$ wynosi:

$y_{1}=\frac{x+\sqrt{5}x}{2} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0 \\ y_{2}=\frac{x-\sqrt{5}x}{2} \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ .
Odcinek $y$ także musi być dodatni, a z tego wynika, że stosunek wartości dodatnich $y/x$ także musi być dodatni. Odrzucamy rozwiązanie $y_{2}$
Złota proporcja ma ścisły związek z ciągiem Fibonacciego
Jest to taki ciąg, w którym wartość danego elementu jest równa sumie dwóch poprzednich.
ciąg przyjmuje wartości
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,...$
Stosunek danego wyrazu do poprzedniego jest w przybliżeniu w złotej proporcji. Przy czym to przybliżenie dąży idealnie do złotej proporcji im wyraz jest większy tym lepsze to przybliżenie.

$\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{1}{1}=1 \\ \frac{F_{3}}{F_{2}}=\frac{2}{1}=2 \\ \frac{F_{4}}{F_{3}}=\frac{3}{2}=1,5 \\ \frac{F_{5}}{F_{4}}=\frac{5}{3}\approx1,66 \\ \vdots \\ \frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{233}{144}\approx1,618056$

$\vdots$

$\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398875...$

Złota proporcja podobno występuje w przyrodzie, czyli także w zwierzętach w ciele ludzkim. Mówię podobno bo osobiście tego nie sprawdzałem 🙂
poniżej fotki jest tego przeogromna ilość.

a tu piękny filmik czułem, że coś jest w tych słonecznikach.

Twierdzenie o 2 Ciągach lub Funkcjach

Posted on 19 września 2011 by Mateusz Kowalski

Skoro ostatnio opowiadałem o twierdzeniu o trzech ciągach to teraz opowiem o twierdzeniu o 2 ciągach.

Jeśli ciąg $b_n$ dla indeksów $n>n_0$ ma wartości mniejsze od wartości ciągu $a_n$ oraz ciąg $b_n$ jest rozbieżny do $+\infty$ , to również ciąg, $a_n$ musi być rozbieżny do $+\infty$ .

Analogiczne twierdzenie dla funkcji zamiast dla ciągów również jest prawdziwe.

Graficzna interpretacja twierdzenia o 2 ciągach.

Jak łatwo zapamiętać 4 wzory trygonometryczne

Posted on 18 września 2011 by Mateusz Kowalski

No dobrze, ale jak się tego używa?

Powiedzmy, że chcemy policzyć

$\sin 15^\circ+\sin 75^\circ= \?$
$\sin 15^\circ +\sin 75^\circ =2\cdot\sin(\frac{15^\circ+75^\circ}{2})\cos(\frac{15^\circ-75^\circ}{2})=$
$=2\cdot\sin(45^\circ)\cos(-30^\circ)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Zagadka jak to możliwe ?

Posted on 13 września 2011 by Mateusz Kowalski

Figura została pocięta na mniejsze części, po czym ułożona została nowa figura. Jak to możliwe, że powstała ta dziura?

Twierdzenie o 3 ciągach lub funkcjach

Posted on 9 września 2011 by Mateusz Kowalski

Cóż to takiego. Brzmi co najmniej dziwnie. Jest to naprawdę bardzo proste twierdzenie tak proste, że aż się możesz zdziwić co w nim takiego odkrywczego.
A zatem do dzieła.

Mam bardzo dobry przykład obrazujący to twierdzenie. Wyobraź sobie dwóch policjantów i siebie. Teraz zobacz jak jeden z tych policjantów idzie na posterunek. Potem zwróć uwagę, że drugi policjant także idzie na posterunek. No a ty znajdujesz się cały czas między nimi i także sobie maszerujesz. Wniosek jest taki, że jeśli jesteś cały czas między dwoma policjantami i oni obaj zmierzają do posterunku to Ty także trafisz na posterunek.
Oto całe twierdzenie.